Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 01. 2020 00:53

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4657
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

Zdravím,

mějme následující větu.

Nechť jsou maticová funkce $A$ a vektorová funkce $b$ spojité na intervalu $I\subseteq\mathbb R$. Pak má počáteční problém $x'=A(t)\,x+b(t), x(t_0)=\xi$ právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu $I$, které získáme jako limitu následující posloupnosti
(i) $\varphi_0\equiv0$,
(ii) $\varphi_{k+1}(t)=\xi+\int_{t_0}^t\(A(s)\varphi_k(s)+b(s)\)\d s$ pro $k\ge0$.

Důkaz existence, který mám k dispozici, má dvě části.
(1) ukáže se existence limity $\lim_{k\to\infty}\varphi_k(t)=\varphi(t)$ pro libovolné $t\in I$,
(2) ukáže se $\varphi_k\rightrightarrows\varphi$ ke zdůvodnění rovnosti
$\lim_{k\to\infty}\int_{t_0}^t(A(s)\varphi_k(s)+b(s))\d s=\int_{t_0}^t(A(s)\varphi(s)+b(s))\d s$.

Mám problém hlavně s druhou částí. (Předpokládejme, že máme dokázané (1).)
Označme
$\alpha(t)=\left|\int_{t_0}^t\|A(s)\|\d s\right|$
$\beta(t)=\max_\tau\{\left|\xi+\int_{t_0}^\tau b(s)\d s\right|;\min(t_0,t)\leq\tau\leq\max(t_0,t)\}$
Věřím tomu, že
(3) $\|\varphi(t)-\varphi_k(t)\|\leq\beta(t)\cdot\frac{\alpha^k(t)}{k!}\cdot\operatorname{e}^{\alpha(t)}$

A teď se tvrdí:
Protože funkce $\alpha,\beta$ jsou ohraničené na každém kompaktním podintervalu $K\subseteq I$ -- jasně, když jsou obě spojité na $I$ -- plyne z nerovnosti (3) $\varphi_k\rightrightarrows\varphi$ na $K$ a $\varphi$ je spojitá (na K).
Jak prosím z (3) plyne stejnoměrná konvergence? Měl jsem za to, že se nějak používá Weierstrassovo kritérium, ale nepovedlo se mi to na něj napasovat (už kvůli tomu, že to ohraničení ve (3) není konstatní).

Důkaz pokračuje tím, že se ukáže pomocí nějaký odhadů, že
$\left|\int_{t_0}^tA(s)\varphi_k(s)\d s-\int_{t_0}^tA(s)\varphi(s)\d s\right|\to0$ pro každé $t\in K$, když $k\to\infty$.
Tomu zase veřím, ale následuje:
Protože tvrzení platí pro každý kompaktní podinterval $K\subseteq I$, je $\varphi$ řešením na celém $I$.
Opět, proč? Mám pocit, že argument "platí pro každý kompaktní podinterval $\Rightarrow$ platí pro celý interval" vidím prvně a ani mu moc nevěřím. (Řekl bych, že $x/n\rightrightarrows 0$ na každém kompaktním intervalu, ale už ne na celé reálné ose.)


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 13. 01. 2020 01:34

Bati
Příspěvky: 2227
Reputace:   176 
 

Re: Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

↑ byk7:
ad1) omezenost $\alpha,\beta$ a (3) dava $\|\varphi(t)-\varphi_k(t)\|\leq\beta(t)\cdot\frac{\alpha^k(t)}{k!}\cdot\operatorname{e}^{\alpha(t)}\leq \frac{C^k}{k!}$

ad2) Sporem. Tvrzeni je, ze to je reseni na celem I, ne ze ta posloupnost konverguje stejnomerne na I

Offline

 

#3 13. 01. 2020 02:32

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4657
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Re: Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

ad 2) Jo, to už mi smysl dává.

ad 1) Ale tady jsem asi čím dál víc zmatený. Co přesně mi ten odhad dává? Jestli tomu správně rozumím, tak bych chtěl směřovat k vyjádření $\varphi=\sum_{k\ge0}\varphi_{k+1}-\varphi_k$, ne? Ale to jaksi nevidím..


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 13. 01. 2020 10:14

Bati
Příspěvky: 2227
Reputace:   176 
 

Re: Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

↑ byk7:
Ted nechapu v cem je problem...proc
$\|\varphi(t)-\varphi_k(t)\|\leq \frac{C^k}{k!}$
znamena stejnomernou konvergenci? Protoze $\frac{C^k}{k!}\to0$ a nezavisi na t, tj. pro kazdy $\epsilon$ najdu k0, aby $\frac{C^k}{k!}<\epsilon$ pro vsechny k>k0 a potom z odhadu dostavam
$\|\varphi(t)-\varphi_k(t)\|<\epsilon$
pro vsechna $t\in K$.

Offline

 

#5 13. 01. 2020 12:20

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4657
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Re: Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

Jo, jasné. :) Přímo definice stejnoměrné konvergence. Díky.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson