Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 01. 2020 17:50

Andrew123
Příspěvky: 37
Reputace:   
 

Inverzni funkce - dukaz vlastnosti

Ahoj,
resim 2 dukazy tykajici se tematu inverzni funkce. Oba si jsou podobne a snad i kratke, tak to snad muze byt tady v jednom dotazu.. Vzhledem k tomu, ze v ucebnici je pouze zadani a neni reseni, tak bych zde chtel nekoho poprosit, zda by mi to mohl zkontrolovat, jestli je to dobre, ci zda by nenalezl elegantnejsi reseni. Me reseni se mi zdaji totiz prilis jednoduche..

Dokazte, ze plati:
a) Funkce $f^{-1}$ je prosta.
b) Je-li funkce $f$ rostouci, pak je i $f^{-1}$ rostouci.


Me reseni:
a) Funkce inverzni je definova pouze pro proste funkce. Pro $f^{-1}$ plati $D_{f-1}=H_f$ a $H_{f^{-1}}=D_f$. Jinymi slovy, prohodil jsem jen dve osy, a protoze jednomu $ x\in D_f$ bylo prirazeno pouze jedno $y \in H_f$, tak to musi platit i obracene pro $f^{-1}$, coz je vlastne definice proste funkce. Tim je dukaz hotov.
b) Funkce $f$ je rostouci, prave kdyz pro vsechna $x_1,x_2\in D_f$ plati: Je-li $x_1<x_2$, pak $f(x_1)<f(x_2)$. Protoze pro inverzni funkci jenom obratime osy, tak bude pro $f^{-1}$ platit nasledujici: Je-li ${x_1}<x_2$, pak $f^{-1}(x_1)<f^{-1}(x_2)$. Coz je definice rostouci funkce, cili plati, ze inverzni funkce $f^{-1}$k rostouci funkci $f$ je opet rostouci.

Me reseni mi prijdou jako samozrejme, ze to snad neni ani potreba psat a mozna to proto neni uplne dobre... Slo by to vice rozepsat nebo znate nejake lepsi reseni?

Diky moc

A.

Offline

 

#2 13. 01. 2020 20:57

jarrro
Příspěvky: 5199
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   297 
Web
 

Re: Inverzni funkce - dukaz vlastnosti

a) ok
b) mi príde, že si nič nedokazoval.
Jedna možnosť je napr. dokázať obmenenú implikáciu.
Nech $f^{-1}{\(x_1\)}\geq f^{-1}{\(x_2\)}$ potom z rastúcosti f a definície inverznej funkcie máme $x_1\geq x_2$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 14. 01. 2020 12:29

Andrew123
Příspěvky: 37
Reputace:   
 

Re: Inverzni funkce - dukaz vlastnosti

↑ jarrro:

OK, dekuji. Na to b) jeste mrknu.. Zkusim to, jak pises.. Take mi prijde, ze to me b) nic neprinasi.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson