Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 11. 2019 00:28 — Editoval vanok (23. 11. 2019 08:58)

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Polynomy

Pozdravujem

Najdite vsetki komplexne polynomy $P$ take, ze
$P(X^2)=P(X)P(X+1)$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 23. 11. 2019 08:33

check_drummer
Příspěvky: 2941
Reputace:   79 
 

Re: Polynomy

↑ vanok:
AHoj, někde ti tam chybí závorky(a). Nemá to být $P(X^2)=P(X)P(X+1)$?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#3 23. 11. 2019 08:59

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Re: Polynomy

Ahoj ↑ check_drummer:,
Dakujem, preklep opraveny.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 24. 11. 2019 20:26

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Re: Polynomy

Najprv, mozte konstatovat, ze konstatne polynomy $0$ a $1$ vyhovuju.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 25. 11. 2019 11:33 — Editoval check_drummer (25. 11. 2019 20:23)

check_drummer
Příspěvky: 2941
Reputace:   79 
 

Re: Polynomy

Ahoj, zkusím:


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#6 25. 11. 2019 13:58 — Editoval vanok (14. 01. 2020 16:21)

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Re: Polynomy

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Polynomy ktore vyhovuju su $0;1$ a aj take ak a je koren polynomu P, tak aj  $a^2$ je.  Co to znamena?
A mozeme nast aj ine korene?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 25. 11. 2019 15:38

check_drummer
Příspěvky: 2941
Reputace:   79 
 

Re: Polynomy

↑ vanok:
Ahoj, aha, ještě je nutno uvažovat kořen s absolutní hodnotou 0, tj. 0. Zamyslím se nad tím.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#8 25. 11. 2019 20:32

check_drummer
Příspěvky: 2941
Reputace:   79 
 

Re: Polynomy

↑ vanok:
Trošku jsem upravil řešení. Taky by se dalo brát že k může být i 0 a pak můžeme polynom 1 vynechat :-)


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#9 26. 11. 2019 07:07 — Editoval vanok (26. 11. 2019 07:10)

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Re: Polynomy

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Mala poznamka.
Len pripomeniem, ze  polynom jednej premennej je definovany je formalne definvany na komutativnom okruhu A ako postupnost skoro stale nulova  prvkov A.   ( podrobnejsie pozri fr. a  engl. wikipediu)
A prakticky, treba byt velmi opatrny a netreba miesat “ formalny” polynome (algebricky object) a jeho asociovanu funkciu polynom. 
Priklad: polynome $X^2+X $ na $\Bbb Z_2$ nie nulovy, aj ked jeho asociovana funkcia polynom je nulova. 
I ked za urcitych okolnosti mozme vyhodne pouzit ich vzajomne vlasnosti.   
Napr.
Formalny  polynom $X^0$ nie je definovany.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 26. 11. 2019 08:22

check_drummer
Příspěvky: 2941
Reputace:   79 
 

Re: Polynomy

↑ vanok:
Ahoj. A je povoleno využít Základní větu algebry?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#11 26. 11. 2019 09:49 — Editoval vanok (26. 11. 2019 09:51)

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Re: Polynomy

↑ check_drummer: ,
Dobra otazka.
Co je dolezite , je treba vediet kde presne pracujes ( myslim o teoriu v akej pracujes). 
Moja poznamka, to je len ti ukazat, ze formalne polynomy; formalne serie ... su uzitocne studovat.  A to moze pomoct aj co sa tyka ich asociovanych funkcii a aj opacne.  ( algebra a a analyza mozu byt intimne viazane).

Ozaj, studovali ste, ked si bol student do hlbky formalne algebricke objekty?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 26. 11. 2019 17:02

check_drummer
Příspěvky: 2941
Reputace:   79 
 

Re: Polynomy

↑ vanok:
Ahoj, algebru jsme měli asi 2 semestry, k tomu asi 2 semestry lineární algebru. Moc do hloubky to nebylo (byl jsem na oboru informatika), něco víc jsem si o tom pak přečetl sám, ale to bylo asi 10 let po škole. :-)
Ale formální algebry mají hodně blízko k logice, je dána nějaká teorie, axiomy, a z nich se odvozují další vlastnosti. Je tam obecně méně prostoru na názornost než třeba v analýze, ale to už je spíš věc názoru a věc konkrétního tématu.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#13 26. 11. 2019 21:55

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Re: Polynomy

Ahoj ↑ check_drummer:,
To tak celkom nie je,  o sa tyka nazornosti.  Ale asi na nematematickych smeroch taka algebra sa uci vo velmi minimalnej forme.  No urcite je toho dost pre ludi v takych odboroch.
No ty sa snazis ist do hlbky.  To preto napredujes.


Pridam tu, len co budem mat cas este jedno riesenie daneho problemu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 14. 01. 2020 18:10 — Editoval vanok (16. 01. 2020 04:01)

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Re: Polynomy

Dam tu  ↑ vanok:  riesenie problemu. ( akoze to zatial nikto kompletne neriesil). 

Nech a je koren polynomu P.
Akoze, mnozina korenov polynomu P je konecna, tak l‘aplikacia $n \to a^{2n}$ nie je injektivna. Preto existuju dve prirodzene cisla m a n, take, ze $a^{2n}=a^{2m}$.  Ak $ m>n$, tak $a^{2m}(a^{2n-2m}-1)=0$.
Z toho mame, ze mame alebo a=0 alebo $|a|= 1$.  ( a komplexne cislo).

$(a-1)^2, (a-1)^4, (a-1)^8,...$ su korene P, co vyzaduje $|a-1|=1$ alebo $a=1$

Preto jedine mozne korene P su $0, 1, -j, -j^2$ ( skutocne $(|z|=1$ a $|1-z|=1)  \Rightarrow ( z=-j $ alebo $ z=-j^2)$. )
Tiez mame $\bar{j}=j^2$ co znamena, ze $-j$ a$-j^2$ maju rovnaju multiilicitu v rozklade P.
Vidime, ze $(X+j)(X+j^2)=X^2-X+1$
Co znamena, ze $P(X)$ je formy $X^{\alpha}(X-1)^{\beta}(X^2-X+1)^{\gamma}$ ( pre vhodne $\alpha , \beta ,\gamma $ , ktore nam ostava upresnit)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 15. 01. 2020 18:50 — Editoval vanok (15. 01. 2020 18:51)

vanok
Příspěvky: 13948
Reputace:   740 
 

Re: Polynomy

Tak teraz phrepokladajme, ze
$P(X)=X^{\alpha}(X-1)^{\beta}(X^2-X+1)^{\gamma}$.
To nam da, $P(X)P(X+1)=X^{\alpha+\beta}(X-1)^{\beta}(X+1)^{\beta}(X^2-X+1)^{\gamma}(X^2+X+1)^{\gamma}$
(Tiez vidime, ze $X^4-X^2+1=(X^2+1)^2-3X^2=...$). $P(X^2)= X^{2\alpha}(X-1)^{\beta}(X+1)^{\beta}(X^2-X\sqrt 3+1)^{\gamma} (X^2+X\sqrt 3+1)^{\gamma}$.
Akoze mame jednoznacnost faktorizacie na irreduktibiline polynomy tak nevyhnutne $\beta=\alpha$ a $\gamma=0$.

Cize $P(X)=(X^2-X)^{\alpha}$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson