Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 01. 2020 17:03

Matytus
Příspěvky: 330
Pozice: žák
Reputace:   
 

Čas zpomalení - dynamika

Dobrý den,
mohu poprosit o radu u tohoto příkladu? Člun o hmotnosti 1 000 kg se pohybuje rychlostí 90 km/h.Posádka vypne motor.Velikost třecí síly Fd mezi člunem a vodou je úměrná velikosti rychlosti člunu podle vztahu Fd = 70v, kde v je zadáno v metrech za sekundu a Fd v newtonech. Za jak dlouho klesne velikost rychlosti člunu na 45 km/h?
Vycházel jsem, že $ma=70v =70(v_{1}-v_{2})$ a tedy  a poté $t= \frac{v_{1}-v_{2}}{a}$.Ale tak to mi nesedí s výsledkem.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Matytus)

#2 14. 01. 2020 17:18

Ferdish
Příspěvky: 1898
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   54 
 

Re: Čas zpomalení - dynamika

Je to SŠ alebo VŠ príklad? Vyzerá to na riešenie cez diferenciálnu rovnicu...

Offline

 

#3 14. 01. 2020 17:19

Matytus
Příspěvky: 330
Pozice: žák
Reputace:   
 

Re: Čas zpomalení - dynamika

↑ Ferdish:
Je to příklad z Hallidaye, ale měl by bbýt řešitelný přes SŠ fyziku.

Offline

 

#4 14. 01. 2020 18:29

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 11963
Reputace:   879 
Web
 

Re: Čas zpomalení - dynamika

↑ Matytus:
Tak  Halliday není vždy na elementární matematiku, tady to bez integrálů nepůjde.
podle 2.NZ
$-70v=m\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$
dosazení za $m$ a separace proměnných
$-\frac{7}{100}\,\text{d}t =\frac{\mathrm{d} v}{v}$
a integrál
$-\frac{7}{100}\int\text{d}t =\int\frac{\mathrm{d} v}{v}$
$-\frac{7}{100}t =\ln v+C$
z počátečních podmínek
$C=-\ln v_0$
takže
$t=\frac{100}{7}\ln \left(\frac{v_0}{v}\right)$


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#5 14. 01. 2020 18:35

Matytus
Příspěvky: 330
Pozice: žák
Reputace:   
 

Re: Čas zpomalení - dynamika

↑ zdenek1:
Moc děkuji!!

Offline

 

#6 14. 01. 2020 18:35 — Editoval MichalAld (14. 01. 2020 18:43)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2372
Reputace:   73 
 

Re: Čas zpomalení - dynamika

Matytus napsal(a):

↑ Ferdish:
Je to příklad z Hallidaye, ale měl by bbýt řešitelný přes SŠ fyziku.

Tak to jsem zvědavý...

Jinak samozřejmě

$a = \frac{dv}{dt}=v' = \frac{F}{m}$

a síla je úměrná rychlosti, tedy k*v, takže

$v' = -\frac{kv}{m}$

(Doplnil jsem tam znaménko minus, protože třecí síla působí proti směru rychlosti. Je to docela důležitá věc, a né že bych si samozřejmě z hlavy pamatoval, že se tam musí dát mínus, ale vím, jak musí vypadat ta rovnice - protože jinak by dala "nestabilní systém" - čun by nezpomaloval, ale zrychloval)

Takže

$v' + \frac{k}{m}v = 0$

Dostaneme lineární dif. rovnici prvního řádu - existuje určitě řada způsobů, jak ji vyřešit, ten nejelegantnější a nejčastější je (aspoň zhruba) uhádnout řešení, které je $v = e^{\lambda t}$, dosadíme, zderivujeme a zjistíme, že lambda musí být $-\frac{k}{m}$, takže řešení rovnice je


$v = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}$

Rychlost lodi exponenciálně klesá. Osobně si nedokážu představit, jak to odvodit bez té dif. rovnice, leda bychom to museli znát.

Offline

 

#7 14. 01. 2020 21:40

edison
Příspěvky: 1665
Reputace:   36 
 

Re: Čas zpomalení - dynamika

Třeba já bych postupoval tak, že bych z principu očekával exponenciální pokles, takže obecně

$X= X_0 e^{-\frac{t}{T}}$

a pak už jde o to, jak spočítat T a tam bych tipnul m/k ... ejhle souhlasí se správným výsledkem:-)

Kdyby se naopak loď rozjížděla, použil bych x0(1-e...

Tohle vždycky vysvětluju dětem na kroužku (ZŠ/SŠ), že si nemusí pamatovat milion vzorečků, jen stačí vědět jak vypadá pár základních kategorií a pak umět dát do zlomku nahoru, co výsledek zvyšuje a dolů co ho snižuje:-)

Offline

 

#8 14. 01. 2020 23:25

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2372
Reputace:   73 
 

Re: Čas zpomalení - dynamika

Tak určitě lze souhlasit s tím, že pro vyřešení problému je nejlepší pomoc znalost jeho řešení...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson