Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 19. 02. 2020 20:17 — Editoval vanok (25. 02. 2020 19:29)

vanok
Příspěvky: 13944
Reputace:   740 
 

Generatory pre SL2(Z)

Pozdravujem,
Tu najdete jedno cvicenie ako urcit jeden system generatorov pre $SL_2(\Bbb Z)$.
Kde $SL_2(\Bbb Z)$ oznacuje   grupu matic 2x2 z celymi koeficientami determinantu 1.
Najprv oznacme

    $A =    \begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}$,

$B_q=    \begin{pmatrix}
1&q\\
0&1
\end{pmatrix}$,
$B=B_1$,

$C_q=    \begin{pmatrix}
0&-1\\
1&q
\end{pmatrix}$,
$C=C_{-1}$.
Dokaz sa da urobit na tri etapy
a) Vypocitajte $A^2, B_qB_{q_1}, B_q^{-1}$.
Urcite $C_q$ vdaka $A$ a $B_q$.
Urcite rady matic $A,B,C$
b)Pre $a, b \in \Bbb Z  ; b \neq 0$ existuje $q \in \Bbb Z$ take, ze $C_q \begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1\\
b_1
\end{pmatrix}$, take, ze $|b_1|<|b|$.
Vdaka tomu, dokazte, ze existuje matica $M$ taka, ze,
$M  \begin{pmatrix} a\\
b
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1\\
0
\end{pmatrix}$ . ($M$ dostaneme ako  sucin matic $C_q$). 
A teraz dokazte, ze
c) $SL_2(\Bbb Z)$ je generovana z $A$ a $B$.  A tiez aj z $A$ a$C$.

Poznamka. 
Toto cvicenie sa najde v peknej knihe: Nadin, Quitté Algorithmique algébrique.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 20. 02. 2020 00:07

Pomeranc
Příspěvky: 406
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Generatory pre SL2(Z)

↑ vanok:

Ahoj,

jsi si jistý, že $SL_{2}(\mathbb{Z})$ tvoří grupu :) ?

Offline

 

#3 20. 02. 2020 05:47

vanok
Příspěvky: 13944
Reputace:   740 
 

Re: Generatory pre SL2(Z)

Ahoj ↑ Pomeranc:,
Ano.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 21. 02. 2020 09:17

vanok
Příspěvky: 13944
Reputace:   740 
 

Re: Generatory pre SL2(Z)

Pre tych, co maju problem z #2, staci konstatovat, ze matica $ \begin{pmatrix} a&b\\
c&d 
\end{pmatrix} \in SL_{2}(\mathbb{Z})$,
ma inverznu maticu $ \begin{pmatrix} d&-b\\
-c&a
\end{pmatrix} $ ...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 22. 02. 2020 23:11 — Editoval vanok (25. 02. 2020 19:30)

vanok
Příspěvky: 13944
Reputace:   740 
 

Re: Generatory pre SL2(Z)

Aby ste mohli overit vase riesenie pridavam este toto. 
a)
$A^2=-I,$, $ A^4=I$, $ B_qB_{q_1}=B_{q+q_1}$, $ B_q^{-1}=B_{-q}$, $C_q=AB_q$, $C=AB^{-1}$, $C^3=I$, $B_q=B^q$
(Iste tiez vidite, ze rad B nie je konecny).
b) tu staci urobit suvis z euklidovskym delenim, ( myslite na delenie cisla a cislom b: co sa moze napisat aj takto
$ b_1=a+bq$ kde $|b_1|<|b|$... )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson