Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 03. 2020 15:21

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

integer value

Number of integer values of $n\geq 10$ for which $\binom{n}{10}^2+\binom{n}{9}\cdot \binom{n}{10}$ is a perfect square.

Offline

 

#2 22. 03. 2020 00:48

kerajs
Příspěvky: 209
Reputace:   18 
 

Re: integer value

$
& k,a,b \in N_+\\
& \\
&  {n \choose 10}^2+ {n \choose 10} {n \choose 9}=  {n \choose 10}^2+ {n \choose 10} {n \choose 10} \cdot  \frac{10}{n-9} = {n \choose 10}^2 \cdot  \frac{n+1}{n-9}\\
&  \begin{cases} n+1=ka^2 \\ n-9=kb^2 \end{cases}    \Rightarrow  10=k(a+b)(a-b)\\
& I)  k=1\\
& 10=(a+b)(a-b)\\
&  \begin{cases} 10=a+b \\ 1=a-b  \end{cases}   \vee   \begin{cases} 5=a+b \\ 2=a-b  \end{cases} \\
&  \begin{cases} a=5,5 \\ b=4,5  \end{cases}   \vee   \begin{cases} a=3,5 \\ b=1,5  \end{cases} \\
& a,b \not \in N_+   \Rightarrow   no  solution \\
& \\
& II)  k=2\\
& 10=2(a+b)(a-b)\\
&  \begin{cases} 5=a+b \\ 1=a-b  \end{cases}  \\
&  \begin{cases} a=3 \\ b=2  \end{cases} \\
&  one   solution:  n=17 \\
& \\
& III)  k=5\\
& 10=5(a+b)(a-b)\\
&  \begin{cases} 2=a+b \\ 1=a-b  \end{cases}\\
&  \begin{cases} a=1,5 \\ b=0,5  \end{cases} \\
& a,b \not \in N_+   \Rightarrow   no   solution $

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson