Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 03. 2020 03:12 — Editoval Pavel_J (03. 03. 2020 03:36)

Pavel_J
Příspěvky: 33
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Úhel a jeho velikost

Pojem úhlu a jeho velikosti je v učebnicích definován, myslím si však, že dosti nevhodně. Vytýkám:

Slovo Úhel se používá ve 3 navzájem se vylučujících významech. Měly by být uváděny i 3 adekvátní definice pro případ, že máme na mysli
a) část roviny
b) vzájemnou polohu polopřímek se společným počátkem
c) parametr popisující rotaci

Aktuální význam slova úhel, pokud není dostatečně zřejmý z kontextu, by měl být explicitně uveden

Dále se zavádí pojem Orientovaný úhel (OU)
Zde mi není jasné, jak to autoři učebnic myslí.
Někde se uvádí že je OU je úhel, jinde se (převážně) zase  píše, že OU je dvojice polopřímek. To je formálně něco jiného - a věcně taky (uvažme třeba průnik dvou úhlů).

Dále se nemohu smířit s tím, že velikost OU je v podání autorů učebnic dána nejednoznačně. Pak tedy pojem velikost není dán žádnou mírou (míra je zobrazení, tedy jednoznačná). Nevidím ani žádný důvod k mnohoznačnosti: OU jako dvojice polopřímek je objekt jednoznačně popsaný.

Správné vyjádření velikosti úhlu mi však připadá jednoduché, bude-li založeno na
přiznání aktuálního smyslu pojmu úhel:

ad a) velikost míry množiny je vždy nezáporné číslo <0°, 360°>
rozlišujeme prázdný a plný úhel

ad b) poloha ramen úhlu je vždu nezáporné číslo <0°, 360°)
prázdnému a plnému úhlu přísluší stejná poloha ramen

ad c) Jen v tomto případě může být hodnota úhlu větší než 360° (resp. menší než 0°), neboť nepopisuje výsledek otáčení (jím je výsledná poloha ramen úhlu), ale proces otáčení (kolik celých a kolik částečných otoček bylo vykonáno a jakým směrem). Takto je zachována jednoznačnost vyjádření velikosti úhlu otočení, např udaje 10°, 370°, -350°  ... popisují různá otočení se stejnou výslednou polohou ramen úhlu (resp. otáčeného objektu).

Dále
Je zaveden pojem Základní velikost OU daného jako dvojice polopřímek. Tato hodnota vyjadřuje právě a pouze pozici ramen úhlu. K vyjádření pozice je však orientace zbytečná (číslo je vždy nezáporné). Proč tedy vztahovat pozici k úhlu orientovanému?
Uvádět velikost OU jako číslo se znaménkem by však mohlo být užitečné a to jak pro vyjádření otáčení dle c), ale i pro úhel ve smyslu a), umožní totiž vyjádřit, kde je vnitřek úhlu (tedy zda jde o úhel konvexni/nekonvexní)

Poslední opomíjená nejasnost je, zda existuje disjunktní rozklad roviny na dva úhly. Pokud ano, nutno se vyrovnat s tím, že ramena úhlu v takovém rozkladu nemohou být součástí obou úhlů, ale jen jednoho z nich. Bylo by na místě mluvit o úhlu otevřeném, či uzavřeném.

V úvaze o tom, co je to OU, pak bych se rád přiklonil k tomu, že je to úhel (tedy množina) u něhož rozlišujeme útvary (ramena počáteční/koncové) jimiž je vymezen. Bylo by to obdobné jako u orientované úsečky, což je úsečka, u níž rozlišujeme útvary (krajní bod počáteční/koncový) jimiž je vymezena.

S úhly souvisí i goniometrické funkce. To jsou funkce z R do R, tedy ne zobrazení úhlu (jak se někdy říká např: Goniometrické funkce ostrého úhlu), nýbrž jeho velikosti. Správně bychom měli říkat Goniometrické funkce velikosti úhlu otočení, oborem G.fcí je totiž (-Inf, +Inf). Že to neděláme lze odpustit, ale nemělo by se na to zapomínat při vysvětlování.

Jaký je váš názor na tuto problematiku?

Offline

 

#2 03. 03. 2020 15:39

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2671
Reputace:   75 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Já znám jen jeden význam slova úhel - a to je poměr mezi poloměrem a délkou kruhového oblouku...

Beru, že na základní škole se úhel chápe tak nějak intuitivně (ze vzájemné polohy dvou přímek), ale co si vzpomínám, tak my jsme se ty radiány učili dříve než stupně (a musel jsem si kvůli tomu koupit radiánový úhloměr, který je jinak celkem k ničemu...)

Offline

 

#3 03. 03. 2020 20:55

Pavel_J
Příspěvky: 33
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ MichalAld:Prosím nepleťte si úhel a jeho míru. Úhel není číslo, velikost úhlu je číslo. To jaký úhel má velikost 1 je věcí dohody. Máme tak různé jednotky úhlu: otáčka (neboli plný úhel), Pravý úhel, Stupeň, grad, rad, dílec a mnohé další. Mě však nejde o polemiku nad jednotkami. Problémem je, že vyjadřování o úhlu samotném.

Offline

 

#4 03. 03. 2020 21:17

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2671
Reputace:   75 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Podle mě není žádný rozdíl mezi úhlem a jeho velikostí. Asi tak stejně, jako mezi délkou a velikostí délky, nebo  třeba napětím a jeho velikostí.

To že to můžeme udávat v různých jednotkách je věc druhá ...

Pravda ale je, že úhel je bezrozměrnou veličinou, a de fakto vlastně není fyzikální veličinou vůbec. A jeho měření lze v principu definovat i trochu jinak ... skze dělení "přímého úhlu" na poloviny...

V euklidově geometrii nemáme čísla, takže tam číselné vyjádření úhlu není možné ... ale číselné vyjádření délky úsečky také né (a to tě třeba vůbec netrápí).

Offline

 

#5 03. 03. 2020 22:27 — Editoval Pavel_J (04. 03. 2020 01:04)

Pavel_J
Příspěvky: 33
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ MichalAld:
Vztah mezi úhlem a jeho velikostí je stejný, jako vztah mezi úsečkou a velikostí úsečky (viz též Teorie míry).

Slovo velikost zde představuje hodnotu uhlové míry M (resp lineární míry N) jíž poměřujeme úhly (resp. úsečky).

Napětí a velikost napětí je opravdu to samé. Podobně jako délka a velikost délky.
Nebo jako hmotnost a velikost hmotnosti.

Oboje je jen vyjádření míry, která je aplikována na nějaký objekt (napětí se vztahuje k nositele náboje, délka se též k něčemu vztahuje, např k úsečce, hmotnost se vztahuje k nějaké hmotě.). Použítí slova Velikost současně s názvem míry však považuji za pleonasmus (nadbytečné vyjádření).

V matematice nemáme žádnou realitu jenom čiré abstrakce (jako třeba množiny bodů zvané třeba úhel čí úsečka),  ale i ty popisujeme příslušnými mírami, jak dáno výše. Nejen to, často to i formálně zapisujeme.

Úhel vymezený rameny VX a VY, tedy úhel $\sphericalangle$XVY, má velikost t, píšeme:
t=M($\sphericalangle$XVY), nebo jen t=|$\sphericalangle$XVY|

Úsečka vymezená body A a B, tedy úsečka $\overline{AB}$ , má velikost d, píšeme:
d=N($\overline{AB}$), nebo jen d=|$\overline{AB}$|

Ještě markantnější je to při vyjadřování vlastnosti těles na technických výkresech. Míru zvanou vzdálenost uvádíme jako kóty, k čemu se tyto vztahují vyznačujeme kótovacími čarami. Tak třeba Prúměr otvoru a otvor samotný je opravdu něco jiného.

Má to ale háček. Úhel ani úsečka není tedy totožná se svou velikostí, ač se to někdy (pro zjednodušení mluvy) nerozlišuje! To je však přípustné jen tehdy, pokud smysl je jasný z kontextu.

Příklad:
Součet úhlů v trojúhelníku je 180° znamená správně: Součet velikostí vnitřních úhlů ve vrcholech trojúhelníka je 180°, což je ovšem nechutně zdlouhavé rčení.

Podobně v trojúhelníku. O písmenech a,b,c připsaným ke stranám někdy zase mluvíme jako o stranách a,b,c  - ač nejde o strany (množiny bodů) ale o čísla splňující nějaký vztah (trojúhelníkovou nerovnost, ...)

RESUME
Máme tu  sice související ale přesto různé matematické objekty, definované různě, ale bohužel vždy nazvané stejně, totiž slovem Úhel. To platí i pro příslušné jednotkové objekty (mající míru rovnou 1).  Máme tedy jednotkový úhel (úhel 1°), vyjadřující míru na množině bodů, jednotku pro popis polohy ramen úhlu dosažené transformací rotace, i jednotku pro popis otáčení jakožto procesu.

Omluvit se to dá opět jen jako snaha o zkrácení vyjadřování, ale na úrovni definic by se rozdílné objekty měly rozlišovat i názvem.

Takový je můj názor předložený do diskuse v naději, že někdo třeba předloží vhodnější východisko z nastalého zmatení pojmů.

Offline

 

#6 04. 03. 2020 07:21

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2671
Reputace:   75 
 

Re: Úhel a jeho velikost

No já to spíš vidím, že máme délku úsečky a úhel dvou úseček (nebo přmek) ... a velikost úhlu by odpovídala velikosti délky...

Offline

 

#7 04. 03. 2020 14:45 — Editoval vanok (04. 03. 2020 18:26)

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Poznamka.
Skutocne pojem uhla je delikatna vec a preto treba byt opatrny co sa tyka tohto pojmu. 
Co da tyka matematickej definicii skutocne v tom nie je ziadny problem.  ( a pochopitelne je nutne byt presny v tom v akom  ramci sa pracuje)
Napriklad je dobre si pozriet aspon na wikipedii napr, annglicku ci francuzku verziu. ( tu je fr verzia: https://fr.wikipedia.org/wiki/Angle)

Co robia fyzici to neviem, ale v serioznych pracach musia pouzit spravne pojem uhla. 

Tak napr. pre studium pojmu uhla v rovine treba vediet, ze presnejsie ide o euklidovsku rovinu ( co to znamena?) ....

Inac, sa mi zda, ze na strednych skolach ( aspon intuitivne) sa  pouziva homomorfizm grup z$(\Bbb R ,+) \to (\Bbb U,.)$ ( pripominam, ze $\Bbb U$ je jednotkovej kruznica )  ktory ma jadro $ 2\pi \Bbb Z$, co da prirodzene isomofizmus poslednej grupy na $ \Bbb R/ 2\pi \Bbb Z$.....atd ( to intuitivne na SS je, ze tocia napr, spagat  okolo valceka....)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#8 05. 03. 2020 11:30

Pavel_J
Příspěvky: 33
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ vanok:
Rekl bych, ze zmínené zobrazení (homomorfizmus) popisuje právě vztah mezi otáčením (popsané číslem z R zvané Úhel otáčení) a výsledkem otáčení jímž je poloha bodu na jednotkové kružnici (pak mluvíme o Polohovém úhlu, jeho velikost se nazývá Základní hodnota orientovaného úhlu - tedy podle nasich učebnic). Vedle toho všeho je úhel definovaný jako množina bodů. Já to vše akceptuji, vždyť se tak všichni vyjadřujeme a rozumíme si. Jen nemohu přenést přez srdce, že různé objekty (množina, polohový úhel, úhel otáčení) nejsou ve své definici rozlišenu názvem. Obávám se, že studenti, tím mohou být zmateni. Třeba tím, že Orientovaný úhel někdo (v učebnici) považuje za úhel (má vnitřní body), jiný zase ne (za dvojici přímek, ta nemá vnitřní body, nelze rozhodnout zda je/není konvexní). Pak dochází k tomu, že Výklad problematiky je pak komplikovaný a vyžaduje dodatečné vysvětlování, co se čím myslí. Nestálo by za to, udělat v učebnicích jasno?

Offline

 

#9 05. 03. 2020 12:32 — Editoval vanok (05. 03. 2020 12:34)

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Ahoj ↑ Pavel_J:,

Mas pravdu, ze kazda ucebnica ma svoju definiciu.  AK chces byt uccinny tak treba robit analyzy pojmov kazdej z nich.  Taka vseobecna kriticka analyza nemoze byt presna.  ( to treba urobit pre kazdu ucebnicu!).

A tiez mozes zacat popisovat pojem uhlu v presnych situaciach.  To by mohla byt prva etata na tuto temu.

Napr.  Ked niekto povie ze miera uhlu a uhol je to iste( ako si mohol poznamenat, som ukazal, ze v pridade rovininich uhlov, v ramci ktory som upresnil) to je nezmysel.  No iste by to potrebovalo upresnit celu teoriu.  ( alebo sa odvolat aspon na seriozne knihy geometrie ako aj algebry ) Az potom  zacat rozmyslat co by si urobil pre stredoskolakov. 

Mozes nam upresnit, o co ti presne ide. 
Chces o tom robit tvoju diplomovu pracu?
No, v kazdom pripade, treba zacat z tym, co sa robi na univerzitach.  A to vhodne pouzit nad tym co ( a ako) by malo byt v sredoskolskych osnovach.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#10 17. 03. 2020 18:57 — Editoval Pavel_J (17. 03. 2020 19:51)

Pavel_J
Příspěvky: 33
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ vanok:

A)
"Napr.  Ked niekto povie ze miera uhlu a uhol je to iste( ako si mohol poznamenat, som ukazal, ze v pridade rovininich uhlov, v ramci ktory som upresnil) to je nezmysel."

V některých českých učebnicích se objevuje poznámka ve smyslu: Úhel čí velikosti tohoto úhlu lze nazývat stejně (použít tentýž symbol, jméno), pokud je z kontextu jasné, co máme na mysli". To akceptuji, matematika je plná různých zjednodušení, která mají zjednodušit formulace výroků. Když o tom víme, není to problém. To ovšem neznamená, že úhel a velikost úhlu je totéž.

Např. často se říká (a moc se nad tím nepozastavujeme), že součet úhlů v trojúhelníku je 180° místo toho, že součet velikosti úhlů v trojúhelníku je 180°.

Podobně: Často se používá formulace: Goniometrická funkce ostrého úhlu, ač by se mělo říkat: Goniometrické funkce velikosti ostrého úhlu, neboť jde o funkce na množině např. reálných čísel.

B)
O co mi jde? jde mi o to
a) udělal jasno sobě samotnému.
b) abych dovedl správně vysvětlit studentům (kterým občas pomáhám s matematikou) jak mají chápat to, že slovo úhel znamená v různém kontextu úplně něco jiného.

Tím nemyslím úhel vs. velikost úhlu (jak zmíněno shora), ale úhel myšlený jako
1) množina bodů v rovině
2) dvojice přímek
3) otáčení objektu kolem středu

Rozdíl smyslu pojmu úhel dopadá i na rozdíl smyslu jeho míry
1) míra množiny je maximální pro plný úhel, nabývá tedy hodnot <0,360°>
2) Dvojici přímek můžeme přiřadit číslo (nejsem si jist, zda mu můžeme říkat míra) popisující vzájemnou polohu těchto přímek. Tento význam má veličina nazývaná v učebnicích"Základní velikost orientovaného úhlu". Toto číslo nabývá hodnot z intervalu <0,360°)
3) Míra otáčení nabývá hodnot (-Inf, +Inf) a říkají ji "Velikost orientovaného úhlu".

C)
Říkáš "Taka vseobecna kriticka analyza nemoze byt presna". Určitý systém pojmů může být založen na různých přístupech, co a jak má být definováno.
Např definice spojitosti fce y=f(x) v bodu x0 může být formulována (stručně řečeno): "Pokud pro každé epsilon okolí y0 existuje delta okolí bodu x0, blabla..."
Nebo lze říci: f(x) je spojitá v bodě x0 pokud funkční hodnota je shodná s limitou (této funkce).

To však není situace týkající se úhlu. Ony 3 rozdílné významy jsou používány bez vysvětlení v té samé učebnici. Místo vysvětlení je uvedeno spousta příkladů, jakoby tvůrci učebnic neměli potřebu/odvahu evidentní rozdíly významu pojmenovat.

Učitelé pak jak na bežícím pásu vytvářejí různé materiály (jsou na webu mnoha škol), ze kterých čtenář již na první pohled má poznat, kdo poskytl grant na tvorbu těchto materiálů, méně jasné je, čím autoři chtějí přispět k pochopení látky (všichni opisují to samé, to k čemu mám výhrady. Bodejď by ne, učili se to tak na pedagogické fakultě).

Žákům to však často nevadí, vždyť jsou vedeni k tomu, aby memorovali moudra z učebnic a ne k tomu, aby nad tím přemýšleli.

Takže mě jde taky o to vyvolat nějakou diskusi k tomuto tématu, která by snad mohla přispět ke zlepšení výuky na školách - nebo se z ní dozvím, že jsem to právě já, kdo to má v hlavě pomotané.

Offline

 

#11 17. 03. 2020 20:11

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Ahoj,

To si iste popisal stav v ceskych ucebnicach.
Presnejsie informacie iste najdes v osnovach pre stredne skoly.  ( iste nieco take existuje).   
Tiez moze byt problematicke, ze niektore pouzivane knihy nezodpovedaju dnesnym osnovam.


Tu https://fr.wikipedia.org/wiki/Angle  najdes jasne vysvetleny pojem uhla v roznych situaciach. 
( no na strednej skole o tom vsetkom nemozes hovorit...)

Mozno popisat podrobne kazdu z troch situacii, o ktorych pises, moze byt poucne. 

Poznamka.  Uz len povedat ze dva uhly su rovnake, je podla toho co si popisal tazka vec.   
Inac, podobne problemy si mozno videl na strednej skole z pojmom vektor.   ( a to si ako riesil?). 

Ako som ti uz naznacil, jedna mozna dobra cesta je urobit teoriu v vhodnych strukturach a potom posudit co by sa malo ucit na SS.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#12 17. 03. 2020 20:30 — Editoval misaH (17. 03. 2020 20:38)

misaH
Příspěvky: 11681
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ Pavel_J:

Ahoj.

Žákům to však často nevadí

No - nevadí.

Prečo by malo?

Nie všetci žiaci potrebujú poznať matematiku do hlbších podrobností a v podstate im stačí vnímať napríklad diskutovanú problematiku uhlov na intuitívnej úrovni. Čo je na tom? O ZŠ ani nehovorím.

Aj fyzika sa učí len tak, aby zodpovedala videniu žiakov a študentov, všetko kompletne sa im jednoducho priblížiť z rôznych dôvodov nedá. Integrály a derivácie nepustia.

Načo sa prplať do hlbokých podrobností? Učiva a rôznych tém je toľko, že proste treba vybrať tú úroveň, ktorá zodpovedá danému stupňu školy. Predsa nie je možné predkladať deťom informácie v rozsahu a hĺbke VŠ termínov a chápania. S deťmi sa treba rozprávať ich jazykom, čo nesie v sebe isté obmedzenia...

Kto bude študovať matematiku na VŠ, ten si túto znalosť počas štúdia doplní a zjemní (ak bude cítiť toho potrebu...).

Podľa mňa sa snáď dá napísať článok do odborných médií, ktoré sa didaktikou matematiky zaoberajú, téma je to myslím zaujímavá, tu na fóre veľa ozajstných učiteľov (mimo VŠ) nie je...

Je to ako s futbalom - každý si myslí, že sa do školstva ZŠ a SŠ rozumie, hoci mu reálne skúsenosti s prácou na jednotlivých druhoch škôl chýbajú...

Offline

 

#13 17. 03. 2020 23:17 — Editoval vanok (17. 03. 2020 23:20)

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ misaH:,
Zda sa mi, ze kolegovy nestacilo co videl na SS. 
Tak sa nad tym moze zamysliet, co by sa dalo na tej urovni zlepsit.   

Vediet napr. ze ten isty orientovany uhol dvojice vetorov $(\overrightarrow{u},\overline{v})$ ma mieru v °  30° a tiez 390° atd.  je dobre vediet ( i ked ziak nevie (oficialne) ze  pracuje v faktorovej grupe). 
( vase terajsie osnovy som necital).  Ale  v ziadnom pripade netreba detom KLAMAT a tak im znechutit matematiku.   

No ale kolega, aspon sa mi zda, ze jeho ucitelia mu nevedeli dat skutocne odpovede...  tak i ked ti co nestuduju geometriu na VS by mali o tom porozmyslat.     

A preco ti nestaci ze tu aspon jeden clovek, co sa o nieco skutocne zaujima. Mne sa take zda chvalyhodne a poucne pre inych.   

Dobru noc  a opatrnost pre vsetkych.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#14 17. 03. 2020 23:20 — Editoval misaH (17. 03. 2020 23:22)

misaH
Příspěvky: 11681
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ vanok:

Kto komu klame?

A pritom ešte znechucuje matematiku?

...

Offline

 

#15 17. 03. 2020 23:54 — Editoval vanok (18. 03. 2020 22:33)

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ misaH:,
To neber osobne, to je myslene vseobecne.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#16 18. 03. 2020 10:38 — Editoval vanok (18. 03. 2020 17:39)

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Pozdravujem ↑ Pavel_J:,
Este mala poznamka. 
Co sa tyka knih ktore sa pouzivaju na strednej skole:
Zda sa mi, ze by bolo dobre vediet, ktore z nich su v sulade z platnymi osnovami pre rok 2020 a to pre stredne a zakladne skoly. 
( i ked som sa ich snazil najst internete, to sa mi nepodarilo). 

To co povazujem za « klamstvo », je pouzivanie knih, ktore nie su v sulade s osnovami 2020). Ine skolske knihy by mali byt zakazane pouzivat.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#17 22. 03. 2020 14:55

Pavel_J
Příspěvky: 33
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ vanok:
Dík za názor. Ze všeho mi vyplývá, že
* pojem úhel různé významy a tudíž i různé definice;
* tyto významy jsou disjunktní. Podle toho jakou úlohu řeším, takového významu se musím podržet.

Ad
Uz len povedat ze dva uhly su rovnake, je podla toho co si popisal tazka vec.   
Inac, podobne problemy si mozno videl na strednej skole z pojmom vektor.   ( a to si ako riesil?).

a) mám-li dva úhly, každý v jiném významu, pak nebudou totožné nikdy, i když mohou mít shodnou velikost míry. Je otázkou, zda by mělo smyslu v takové situaci mluvit o tom, žer jsou shodné.

b) Co se týče vektorů, pak na SŠ jsem se setkal s přístupem, že (zjednodušeně řečeno) "vektor je orientovaná úsečka, umístěná kdekoli." Já bych to spíš formuloval obráceně, že "orientovaná úsečka je vektor". Tzn jsou i jiné objekty, které jsou též vektor. Jejich společnou vlastností je to, že je dovedeme sečíst a násobit skalárem. Z toho pak plyne vše, co potřebujeme k počítání s vektory na SŠ. --- na rozdíl od úhlu tady nevidím zásadní překážky bránící pochopení.

Pavel

Offline

 

#18 23. 03. 2020 02:47 — Editoval vanok (01. 04. 2020 08:45)

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ Pavel_J:,
Dam ti tu neformalnu odpoved ( aby si videl, som posudit, co moze tam byt problem pre niektorych ziakov).
Co sa tyka vektorov, ktore su definovane  v suradnicivej rovine ( vseobecne v afinnom priestore) kde na ich rovnost sa pouzije pravidlo rovnobeznika a tak   dobre vies co znamena napr. $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$, a take situacie dostavaju a robia (s radostou) ziaci na SS. 
No to, ze ide vlastne o vektory tej istej triedy ekvivancie, ( ako je presne definovana?) o tom sa co hovori na SS?

A iste si poznamenal, ze analogicka situacia sa objavila uz na ZS, napr. pri pojme zlomku. Zapis $\frac ab =\frac cd$ znamena ..... no vsak co sa hovori detom o tom ....
A, ze v cviceniach kde ide o zjednodusenie zlomkov, co je v nich vlastne cakane od ziakov?
(A su aj ine podobne situacie... )
( to ze ide o konstrukcie novych matematickych objektov, vdaka faktorovym strukturam, je dostatocne   citene detmi. v danych situaciach ?)
A preto cvicenie, ako zjednodus $\frac 46$ je pre niektorych ziakov tvrdy oriesok . Ako by si to ty analyzoval?

Inac, si dobre poznamenal, ze  rozne pojmy uhlu treba rozlisovat.  A porovnavat taketo rozne pojmy sa neda....


Nakoniec, definicia vektoru, (o ktorej pises,) ako sa to robia fyzici, je uzitocna aby sa dali urcit dva « rovnake  vektory » ( no pochopitelne, zasa ide len o dva rozne representaty tej istej triedy ekvivalencie, ktora jedinna by mala byt pomenovana vyrazom vektor .... a v skutocnosti ide o chybu typu, kde niekto stotoznuje pohar vody, z vodou  ktora je v tom pohari). Ale pozor, su aj texty kde takato situacia je  vhodnych priestoroch, dostatocne dobre popisana ....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#19 23. 03. 2020 16:54 — Editoval Pavel_J (23. 03. 2020 16:58)

Pavel_J
Příspěvky: 33
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Úhel a jeho velikost

↑ vanok:
Ad vektory:

Zde se přikláním k jasnému oddělení pojmu "souřadnice bodu" a "souřadnice vektoru"
a) Identifikace bodu pomocí jeho souřadnic je založena na průniku množin vzniklých rozkladem množiny bodů podle hodnoty jednotlivých souřadnic - tvořících síť souřadnic. Tak dostanem různé souřadnice: křivočaré (polární, hyperbolické, ... lze ukázat jejich užitečnost a to, že se běžně používají v navigaci), přímkové (ruzné druhy podle směru a hustoty sítě).
b) Identifikace vektoru pomocí jeho souřadnic je založena na vyjádření lineární kombinace vektorů báze.
Jde tedy o dva naprosto odlišné přístupy

Nezávisle na typu souřadnic máme afinní prostory, kde je definován součet:
bod + vektor = bod.  Souřadnice nějakého bodu B[b1, b2] a vektoru V(v1,v2) nemusí mí spolu mít nic společného, ale ve zvláštním případě, kdy V je polohovým vektorem bodu B, mohou být souřadnice vektoru V souřadnicemi bodu B, a to souřadnicemi afinními. A v tuplem zvláštním případě, kdy vektorová báze je ortogonální, budou souřadnicemi kartézskými.

To jistě víš bez zaváhání (resp. znáš třeba ještě lepší vyjádření téhož), ale já zde mám hlavně na mysli, že při použití rozvinutých názvů jako "kartrézské souřadnice" je vhodné vysvětlit co znamená slovo "souřadnice" a co znamená "kartézské", popřípadě též co znamená "polohový vektor" ... a to vše lze vysvětlit v souvislostech a bez složitého matematického aparátu.

Definice vektoru, kterou uvádíš v závěru, se mi líbí, popisuje přece to, čemu se říká volný vektor. Např. Na území U fouká severní vítr 15 m/s. Sečtením tohoto vektoru s bodem, kde stojím, dostanu bod, kde bude moje čepice za 1s.

Ad zlomky:
Přiznávám, že neovládám faktorové struktury. Tady trochu házíš perly svini.
Nicméně považuji za důležité rozlišovat pojem zlomku a racionálního čísla.
Zlomky 1/2 a 2/4 jsou různé (představují různé výrazy), ale představují totéž racionální číslo (reprezentované polohou na číselné ose).

Žáci, kteří nezjednoduší zlomek 4/6 nejspíš proto, že nejsou trénovaní v tom, aby jej v mysli hned rozložili na výraz (2.2)/(2.3).
Asi se něco zanedbalo ve výkladu a v motivaci k učení matematiky.
Krom toho existují mozkové dysfunkce, které lidem brání mít/používat běžné matematické představy (znám takové žáky).

Offline

 

#20 23. 03. 2020 19:25

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Ahoj ↑ Pavel_J:,

Ak sa ti zda, ze stredoskolske vysvetlenia co sa tyka cisiel, vektorov atd. ( i ked nie su dokonale) ta uspokojuju. Potom problemy pojmov uhlu, ktore su zalozene na to istom principe, tak by ti to nemalo robit problem ( pokial je pouzita dostatocne presna terminologia).

Dobre pokracovanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#21 23. 03. 2020 20:08

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2671
Reputace:   75 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Já vám do toho nechci mluvit, ale podle mě zacházení do přílišných podrobností ohledně základů matematiky není úplně ta správná cesta.

Většina lidí (včetně mě) si vystačí s intuitivním chápáním matematiky, a nepotřebuje zacházet do detailů její axiomatické výstavby.

Když zapomenu na vrozenou skromnost, tak určitě patřím (co se matematiky týče) do té horní třetiny národa, přesto jsem nikdy neslyšel třeba o Robinsonově či Peanově aritmetice, ani o Zermelově–Fraenkelově teorii množin či axiomu výběru, a nijak mi to speciálně život nezkomplikovalo...přitom to vypadá, že bych vlastně neměl umět ani do pěti počítat...

Offline

 

#22 23. 03. 2020 20:50

vanok
Příspěvky: 13779
Reputace:   737 
 

Re: Úhel a jeho velikost

Ahoj ↑ MichalAld:,
Mas pravdu, ze  to nie je jednoduche co sa tyka matemativkych pojmov.

Ale casto, napr. co sa tyka napr. zlomkov, to sa riesi « axiomaticky » ,  ( i ked sa to ziakom nepovie)tak, ze daju ako prijatie potrebne vlasnosti.

A tiez situacia je podobna aj pre ine pojmy.  Ak to niekoho zaujima mozme o tom viac napisat. 

No ako poznamenal kolega niekedy stedoskolske knihy nie su dost dobre napisane. 

No pokial sa niekto nezaujima hlbsie o konstrukciu matematiky, tak to nie je potrebne prehlbovat.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson