Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 03. 2020 14:34

Venrera
Zelenáč
Příspěvky: 2
Škola: Technická univerzita v Liberci
Pozice: Student
Reputace:   
 

Zavedení nezávisle proměnné (parcialní derivace)

Dobrý den
Mám za úkol vypočítat následující příklad:
do výrazu
$(1+x^{2})^{2}y\text{´´}(x) + 2x(1+x^{2})y\text{´}(x) + y(x)$
zaveďte nezávisle proměnnou vztahem $x = tg  t,  x\in (-\frac{\Pi }{2},\frac{\Pi }{2})$

jako "výsledek"je uvedeno toto: $(y\text{´´}(t) + y(t))$

Přečetl jsem si nějaké příspěvky o transformaci. Pochopil jsem z toho, že spočítám jednotlivé stupně derivací, a to co mi vyjde dosadím za y´´(x), y´(x), y(x) a x.

Metoda jak spočítat tyto derivace mi však uniká. V teoretickém podkladu který jsme dostali se sice ukazuje, nicméně se ale nevysvětluje.
Tam, i v ostatních příspěvcích se používají značení $\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dx} },\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} },\frac{\mathrm{d^{2}f} }{\mathrm{dt^{2}} }$ a podobně, se kterými jsem se dříve setkal pouze v kontextu značení derivace, ne počítání s nimi.
Jestliže příklad s nimi i přes to vyzkouším, v podstatě přesnou kopií postupu u jiného příkladu, vyjde mi rozsáhlý výraz který se mi nepodařilo žádným způsobem zkrátit, a už vůbec ne do tvaru předpokládaného výsledku, ve kterém se žádné značky derivace v tomto formátu nevyskytují.
něco takového: $(1+(tgt)^{2})^{2}(\frac{\mathrm{d^{2}f} }{\mathrm{dt^{2}} }\frac{1}{tgt} - \frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dt} }\frac{1}{tgt})(\frac{1}{tgt}) + 2(tgt)(1 + (tgt)^{2})(\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dt} })(\frac{1}{tgt}) + y(t)$
s absolutně nulovým pochopením

Jestli by měl někdo nějaké zdroje  které by tyto postupy vysvětlovali, řešené příklady, nebo vysvětlení tohoto konkrétního příkladu, byl bych velice rád. Ideálně však něco opravdu od základů, které mi v této oblasti zjevně chybí. Nevím kde bych měl začít

Offline

 

#2 25. 03. 2020 16:44 — Editoval laszky (25. 03. 2020 16:51)

laszky
Příspěvky: 1861
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   159 
 

Re: Zavedení nezávisle proměnné (parcialní derivace)

↑ Venrera:

Ahoj, tak muzes postupovat napr. takto

$Y'(t) = \frac{d}{dt}y(x(t)) = y'(x(t))\cdot x'(t) = y'(x)\cdot \frac{1}{\cos^2t} = y'(x)\cdot \frac{\sin^2t+\cos^2t}{\cos^2t} = y'(x)\cdot \frac{\mathrm{tg}^2t+1}{1} = y'(x)\cdot(x^2+1)$

Druhou derivaci uz zvladnes sam, ne?

Offline

 

#3 25. 03. 2020 21:30

Venrera
Zelenáč
Příspěvky: 2
Škola: Technická univerzita v Liberci
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Zavedení nezávisle proměnné (parcialní derivace)

Děkuji za odpověď.
Pochopil jsem to tak, že se snažím derivováním dostat výraz, který už v zadání je, a následně ho zaměnit za $Y\text{´}(t)$

Jestliže u druhé derivace postupuji ekvivalentně, vyjde mi $Y\text{´´}(t) = y\text{´´}(x)\cdot  2tgt \cdot \frac{1}{cos^{2}t} = y\text{´´}(x)\cdot2x\cdot y\text{´}(x) $
tím posledním si nejsem jistý.

Jakým způsobem to pak ale zkrátit? Skrz algebraické úpravy se alespoň mě nic elegantního nejeví.

Offline

 

#4 25. 03. 2020 22:06

laszky
Příspěvky: 1861
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   159 
 

Re: Zavedení nezávisle proměnné (parcialní derivace)

↑ Venrera:

Ahoj, mas to spatne, musis to derivovat jako soucin funkci:

$Y''(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigr(y'(x(t))\cdot(x^2(t)+1)\Bigr) = \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y'(x(t)) \right)\cdot\bigr(x^2(t)+1\bigr)  + y'(x(t))\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigr(x^2(t)+1\bigr)  =  $
$
= y''(x)\cdot(x^2+1)^2 + y'(x)\cdot 2xx'(t) =  y''(x)\cdot(x^2+1)^2 + y'(x)\cdot 2x(x^2+1)
$

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson