Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 04. 2020 15:39

Pozitron
Příspěvky: 60
Škola: Gymnázium
Pozice: Student
Reputace:   
 

vytvořující funkce, těžší příklad

Dobrý den,
Na internetu jsem našel příklad na vytvořující funkce a nevím jak dále postupovat.
$a_{0}=a_{1}=1, 5a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}$
přepíšeme jako $\frac{5}{x^{2}}\sum_{0}^{\infty }a_{n+2}x^{n+2}=\frac{4}{x}\sum_{0}^{\infty }a_{n+1}x^{n+1}-\sum_{0}^{\infty }a_{n}x^{n}$
vyjádříme f(x) $\frac{5}{x^{2}}f(x)-\frac{5+5x}{x^{2}}=\frac{4}{x}f(x)-\frac{4}{x}-f(x)$
$f(x)=\frac{5+x}{x^{2}-4x+5}$
teď bychom to normálně rozložili na parciální zlomky a dopočítali vyjádření pro n-tý člen, problém je že jmenovatel má pouze dva imaginární kořeny a já nevím jak dál postupovat, tak prosím o návod jak se řeší příklady tohodle typu.

Výsledek:




Předem děkuji za odpověď.

Offline

 

#2 01. 04. 2020 16:07

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

Ahoj, no a jak bys postupoval, kdyby ty kořeny nebyly imaginární? Zkus postupovat stejně.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#3 01. 04. 2020 16:52

Pozitron
Příspěvky: 60
Škola: Gymnázium
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

↑ check_drummer:
našel bych kořeny jmenovatele
$f(x)=\frac{5+x}{(x-2-i)(x-2+i)}=\frac{A}{(x-2-i)}+\frac{B}{(x-2+i)}$
$f(x)=\frac{\frac{1-7i}{2}}{(x-2+i)}+\frac{\frac{1+7i}{2}}{(x-2-i)}$
dále nevím jak postupovat.

Offline

 

#4 01. 04. 2020 18:09

jarrro
Příspěvky: 5243
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   298 
Web
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

Nemá to byť
$a_{0}=a_{1}=1.5\nl
a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}$?
Potom
$\frac{1}{x^{2}}\sum_{0}^{\infty }a_{n+2}x^{n+2}=\frac{4}{x}\sum_{0}^{\infty }a_{n+1}x^{n+1}-\sum_{0}^{\infty }a_{n}x^{n}\nl
\frac{1}{x^2}\(f{\(x\)}-1.5x-1.5x^2\)=\frac{4}{x}\(f{\(x\)}-1.5x\)-f{\(x\)}\nl
f{\(x\)}-1.5x-1.5x^2=4xf{\(x\)}-6x^2-x^2f{\(x\)}\nl
f{\(x\)}=-\frac{3}{2}\frac{3x-1}{x^2-4x+1}$
Čo sa týka komplexných čísel tak je to jedno lebo ak je komplexna postupnosť riešením diferenčnej rovnice tak aj jej reálna a imaginárna časť sú jej riešením.
teda ak $\(r\(\cos{\(\varphi\)}\pm\mathrm{i}\sin{\(\varphi\)}\)\)^n$ je komplexným riešením tak $C_1r^n\cos{\(n\varphi\)}+C_2r^n\sin{\(n\varphi\)}$ je reálne riešenie


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 01. 04. 2020 20:06

Pozitron
Příspěvky: 60
Škola: Gymnázium
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

↑ jarrro:
má to být $a_{0}=a_{1}=1$
$5a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}$

Jde o to že potřebuji najít analytické vyjádření pro n-tý člen posloupnosti.

Offline

 

#6 02. 04. 2020 21:55

jarrro
Příspěvky: 5243
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   298 
Web
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

jarrro napsal(a):

Čo sa týka komplexných čísel tak je to jedno lebo ak je komplexna postupnosť riešením diferenčnej rovnice tak aj jej reálna a imaginárna časť sú jej riešením.
teda ak $\(r\(\cos{\(\varphi\)}\pm\mathrm{i}\sin{\(\varphi\)}\)\)^n$ je komplexným riešením tak $C_1r^n\cos{\(n\varphi\)}+C_2r^n\sin{\(n\varphi\)}$ je reálne riešenie


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 02. 04. 2020 23:00

Pozitron
Příspěvky: 60
Škola: Gymnázium
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

↑ jarrro: A jak mi to pomůže s vytvořením vzorce pro n-tý člen?

Offline

 

#8 03. 04. 2020 01:20 — Editoval vanok (03. 04. 2020 04:58)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

Ahoj ↑ Pozitron:,
Mala poznamka.
Tu mas jednoduche, uzitocne citanie https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_di … e_equation

Zda sa, ze nemas skusenosti z vektorovymi priestormi.... a v takychto problemov je uzitocne o nich vediet aspon tie zakladne veci.

Tiez je uzitocne poznamenat analogiu z linearnimi homogennimi  diferencialnimi rovnicami z konstatnimi koeficinentami . Pozri napr tu
https://cs.wikipedia.org/wiki/Charakteristická_rovnice


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 03. 04. 2020 19:06

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

↑ Pozitron:
$\frac{1}{1-x}$ lze vyjádřit jako součet geometrické řady.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#10 03. 04. 2020 19:32

jarrro
Příspěvky: 5243
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   298 
Web
 

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

↑ Pozitron:tak, že ti to to priamo vyrieši. Veď si napísal komplexnú verziu výsledku prevod na reálnu je (ak nie som debil) taký ako som napísal.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson