Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 27. 06. 2020 09:16

mikpeta
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Konvergence/divergence nekonečné řady

Zdravím, potřeboval bych zkontrolovat, kde mám chybu.

Podle podílového kritéria mi vyšla 1  a pak Raabeovým kritériem, že konverguje.
//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-06/41875_141.JPG

Podle limitního srovnávacího mi vyšlo, že diverguje.
//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-06/41916_14.JPG

Podle integrálního kritéria mi vyšlo, že diverguje.  Integrál od 1 do nekonečna. Po dosazení nekonečna mi vyšlo  (nekonečno*0) + nekonečno)
//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-06/42062_intt.JPG

Offline

 

#2 27. 06. 2020 11:59 — Editoval nejsem_tonda (27. 06. 2020 16:57)

nejsem_tonda
 
Příspěvky: 585
Reputace:   47 
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

Ahoj,
pro uplnost napisu, jak vypada Raabeovo kriterium
$\lim_{n\to\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$
pricemz rada konverguje pokud ta limita vyjde vetsi nez 1.

Pri pouziti tohoto kriteria musis znovu dosadit opravdu cleny $a_{n+1}$ a $a_n$. Ty jsi misto toho dosadil uz spocitanou limitu $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Jinymi slovy je to jako kdybys tvrdil
$\lim_{n\to\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = \lim_{n\to\infty}n\left(1-\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$
coz neni pravda.

EDIT: Nevyjadril jsem se presne. Nedosadil jsi spocitanou limitu, ale vyraz, ktery jsi ziskal v prubehu pocitani limity
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Konkretne jsi dosadil vyraz $\frac{n}{n+2}$
Svuj prispevek opravuju nize.


Znate videa a ucebnici?

Offline

 

#3 27. 06. 2020 12:49

mikpeta
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ nejsem_tonda:

Spočítanou limitu?  To jako díky tomu, že jsem v prvním zlomku měl neurčitý výraz 0/0 a pravidlem jsem to pak zderivoval?

Jinak když tedy do toho vzorce dosadím  ty členy $a_{n+1}$ a $a_n$, tak dostanu tedy uvnitř zlomek z logaritmama a to pak převedu na společný jmenovatel? Mě tam pak vychází n*(...)  a v závorce mám ty logaritmy a zlomky a po dosazení nekonečna mi vyjde  n*(0/0) . Zkusím to možná ty úpravy přepsat na papír.

Offline

 

#4 27. 06. 2020 13:24 — Editoval jarrro (27. 06. 2020 13:31)

jarrro
Příspěvky: 5199
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   297 
Web
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ mikpeta:lebo rovnosť $\lim_{x\to\infty}{\(x\(1-\frac{f{\(x+1\)}}{f{\(x\)}}\)\)}=\lim_{x\to\infty}{\(x\(1-\frac{\ \frac{\mathrm{d}f{\(x+1\)}}{\mathrm{d}x}\ }{\ \frac{\mathrm{d}f{\(x\)}}{\mathrm{d}x}\ }\)\)}$
Vo všeobecnosti $\color{red}{\text{N E P L A T Í}}$
Resp. Inými slovami $\lim_{n\to\infty}{\(n\(1-\frac{n}{n+2}\)\)}$ nemá nič spoločné s Raabeho testom pre rad
$\sum_{n=1}^{\infty}{\ln{\(1+\frac{1}{n}\)}}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 27. 06. 2020 16:10

mikpeta
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ jarrro:

Zkusil jsem to takhle teda (limitu k nekonečnu se mi nechtělo pořád vypisovat) mám to n v čitateli dát k tomu logaritmu?   Uvnitř logaritmu mi to dá nekonečno/nekonečno ... a z toho pka ln1 = 0....takže n*( 0/0)    nebo   (n*0) /0   ? 

ps..nevím proč je ten obrázek tady  otočený.
//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-06/66978_023.jpg

Offline

 

#6 27. 06. 2020 16:49

nejsem_tonda
 
Příspěvky: 585
Reputace:   47 
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ mikpeta:

Spočítanou limitu? To jako díky tomu, že jsem v prvním zlomku měl neurčitý výraz 0/0 a pravidlem jsem to pak zderivoval?

Ano, ty jsi do Raabeho kriteria nedosadil primo $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, ale uz $\frac{n}{n+2}$. Cili tve dosazeni je totez jako tvrdit, ze
$\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+2}$
Jenze ve skutecnosti
$\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}\neq\frac{n}{n+2}$, plati pouze $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}$


Nebo tez tak, jak pise jarro.


Tvoje posledni fotka je uz zcela spravne a kdybys dopocital tu limitu, tak ti vyjde 1 (podle wolframalpha). Takze Raabeho kriterium v tomto pripade neumi rozhodnout o konvergenci te rady.


Znate videa a ucebnici?

Offline

 

#7 27. 06. 2020 17:25

mikpeta
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ nejsem_tonda:

Aha, tak to mám zas někde chybu, mě to pořád vychází 2 .
//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-06/71497_024.jpg

Offline

 

#8 27. 06. 2020 17:42

nejsem_tonda
 
Příspěvky: 585
Reputace:   47 
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ mikpeta:
Bohuzel. Pouzivas pravidlo pro vypocet limity typu 0/0 na limitu typu $\infty\cdot(0/0)$.


Znate videa a ucebnici?

Offline

 

#9 27. 06. 2020 18:11

mikpeta
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ nejsem_tonda:

Takže v čitaeli nechám tu závorku a do jmenovatele dám 1/n ?  A pak čitael i jmenovatel zderivuju?

Offline

 

#10 28. 06. 2020 00:03 — Editoval nejsem_tonda (28. 06. 2020 00:06)

nejsem_tonda
 
Příspěvky: 585
Reputace:   47 
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ mikpeta:
Ano, tak postupovat muzes. Nicmene nezkousel jsem, jestli to je vhodna cesta pro vypocet teto limity. Precijen citatel je podil logaritmu a jeho derivace bude trochu neprijemna..


Znate videa a ucebnici?

Offline

 

#11 28. 06. 2020 09:21

mikpeta
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

Jo dobrý, tak už chápu..díky

Offline

 

#12 28. 06. 2020 13:14 — Editoval vanok (28. 06. 2020 13:15)

vanok
Příspěvky: 13921
Reputace:   740 
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

Pozdravujem.
Poznamka.
Preco jednoducho ↑ mikpeta: si nepouzil, ze $\ln{\(1+\frac{1}{n}\)}=\ln (n+1)-\ln (n)$ ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 28. 06. 2020 14:35

mikpeta
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ vanok:

Zdravím,

a ve které části přesně?

Offline

 

#14 28. 06. 2020 15:12 — Editoval krakonoš (28. 06. 2020 22:55)

krakonoš
Příspěvky: 971
Reputace:   30 
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ mikpeta:
Raabeho kriterium
ln(1+1/n) se chová při n jdoucím do nekonečna jako 1/n, protože 1/n je na  pravém okolí nuly.
Podobně ln((n+1)^2/(n*(n+2))) lze zapsat jako ln(1+1/(n(n+2))), tedy se to bude chovat jako 1/n(n+2) když n jde do nekonečna. Tak se dostaneme k limitě  výrazu $n^{2}/(n^{2}+2n)$, kde tato limita bude však rovna jedné, pokud jsem se někde nespletla. Účinné je integrální kriterium s použitím per partes. Nutno však zdůvodnit monotonni funkce ln(1+1/n)


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#15 28. 06. 2020 15:58 — Editoval vanok (28. 06. 2020 16:01)

vanok
Příspěvky: 13921
Reputace:   740 
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

Ahoj ↑ mikpeta:,
No ked konstatujes, ze $\sum_{1}^{N}\ln{\(1+\frac{1}{n}\)}=\sum_{1}^{N}(\ln (n+1)-\ln (n))= \ln (N+1)$ tak tu divergenciu mas okamzite.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 28. 06. 2020 18:04 — Editoval krakonoš (28. 06. 2020 18:05)

krakonoš
Příspěvky: 971
Reputace:   30 
 

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

↑ mikpeta:
Rovněž lze využít podobné myšlenky jako je v #15, a to, že budeme sledovat součty  ln(k+1)-ln(k) , kde k= n až 2n-1, tento součet je roven ln2, takže nebude existovat žádné k, počínaje kterým by šly součty libovolného počtu členů  sumy dělat menší než předem zvolené epsilon, nebude tedy splněna Bolzano Cauchyho podmínka pro konvergenci řady.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson