Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 07. 2020 07:51

Dacu
Příspěvky: 63
Pozice: inženýr
Reputace:   
 

Some triangles

Hello all,

Between the angles of a triangle there is the relation $A^2 =B^2+C^2$.Find all triangles for which $A$ , $B$ , $C$ are sexagesimal angles and $A , B , C\in \mathbb N^*$.

All the best,

Dacu


"Don't worry about your difficulties to math.I assure you that mine are even bigger! ” Albert Einstein

Offline

 

#2 29. 07. 2020 16:08

kerajs
Příspěvky: 220
Reputace:   18 
 

Re: Some triangles

1) A=82 , B=80 , C=18
2) A=82 , B=18 , C=80
3) A=78 , B=72 , C=30
4) A=78 , B=30 , C=72
5) A=75 , B=60 , C=45
6) A=75 , B=45 , C=60

Offline

 

#3 29. 07. 2020 19:25

edison
Příspěvky: 2055
Reputace:   40 
 

Re: Some triangles

Možná je to hloupá otázka, ale co znamená "sexagesimal"?

Offline

 

#4 29. 07. 2020 19:42

kerajs
Příspěvky: 220
Reputace:   18 
 

Offline

 

#5 30. 07. 2020 05:45 — Editoval Dacu (30. 07. 2020 05:47)

Dacu
Příspěvky: 63
Pozice: inženýr
Reputace:   
 

Re: Some triangles

kerajs napsal(a):

1) A=82 , B=80 , C=18
2) A=82 , B=18 , C=80
3) A=78 , B=72 , C=30
4) A=78 , B=30 , C=72
5) A=75 , B=60 , C=45
6) A=75 , B=45 , C=60

Hello,

Are there other triangles? If not , then prove that these are the only triangles?Thank you very much!

All the best,

Dacu


"Don't worry about your difficulties to math.I assure you that mine are even bigger! ” Albert Einstein

Offline

 

#6 30. 07. 2020 08:20

kerajs
Příspěvky: 220
Reputace:   18 
 

Re: Some triangles

$ & A^2=B^2+C^2 \\
 & (180-B-C)^2=B^2+C^2 \\
& (180-B)(180-C)=180\cdot 90\\
& 180\cdot 90=2^33^45^2=100\cdot 162=108\cdot150=120\cdot 135 $

Offline

 

#7 30. 07. 2020 14:43

Dacu
Příspěvky: 63
Pozice: inženýr
Reputace:   
 

Re: Some triangles

kerajs napsal(a):

$ & A^2=B^2+C^2 \\
 & (180-B-C)^2=B^2+C^2 \\
& (180-B)(180-C)=180\cdot 90\\
& 180\cdot 90=2^33^45^2=100\cdot 162=108\cdot150=120\cdot 135 $

Hello,

I do not understand!Where do we get $(180-B)(180-C)=180\cdot 90$?Thank you very much!

All the best,

Dacu


"Don't worry about your difficulties to math.I assure you that mine are even bigger! ” Albert Einstein

Offline

 

#8 30. 07. 2020 16:02 — Editoval misaH (30. 07. 2020 16:03)

misaH
Příspěvky: 12230
 

Re: Some triangles

↑ Dacu:

It's not so difficult!
(When I can do it...)

$ & A^2=B^2+C^2 \\
 & (180-B-C)^2=B^2+C^2 \\
& (180-B)(180-C)=180\cdot 90\\
& 180\cdot 90=2^33^45^2=100\cdot 162=108\cdot150=120\cdot 135 $

$ & A^2=B^2+C^2 \\
 & (180-B-C)^2=B^2+C^2 \\
&180^2-2\cdot180(B+C)+(B+C)^2=B^2+C^2$
So
$\color{blue}BC=180(B+C)-90\cdot 180$
$(180-B)(180-C)=180^2-180(B+C)+\color{blue}BC$
$& (180-B)(180-C)=180\cdot 90$

Offline

 

#9 30. 07. 2020 16:33

Dacu
Příspěvky: 63
Pozice: inženýr
Reputace:   
 

Re: Some triangles

misaH napsal(a):

↑ Dacu:

It's not so difficult!
(When I can do it...)

$ & A^2=B^2+C^2 \\
 & (180-B-C)^2=B^2+C^2 \\
& (180-B)(180-C)=180\cdot 90\\
& 180\cdot 90=2^33^45^2=100\cdot 162=108\cdot150=120\cdot 135 $

$ & A^2=B^2+C^2 \\
 & (180-B-C)^2=B^2+C^2 \\
&180^2-2\cdot180(B+C)+(B+C)^2=B^2+C^2$
So
$\color{blue}BC=180(B+C)-90\cdot 180$
$(180-B)(180-C)=180^2-180(B+C)+\color{blue}BC$
$& (180-B)(180-C)=180\cdot 90$

Hello,

Correct!I understand!How do we prove that there are only 6 triangles?Thank you very much!

All the best,

Dacu


"Don't worry about your difficulties to math.I assure you that mine are even bigger! ” Albert Einstein

Offline

 

#10 30. 07. 2020 17:09

kerajs
Příspěvky: 220
Reputace:   18 
 

Re: Some triangles

Really?
$ & \begin{cases} 180-B=100 \\ 180-C=162 \end{cases}  \vee  \begin{cases} 180-B=162 \\ 180-C=100 \end{cases}  \vee  \begin{cases} 180-B=108 \\ 180-C=150 \end{cases}  \vee \begin{cases} 180-B=150 \\ 180-C=108 \end{cases} \vee \\
&  \vee  \begin{cases} 180-B=120 \\ 180-C=135 \end{cases}  \vee  \begin{cases} 180-B=135 \\ 180-C=120 \end{cases}  $

Offline

 

#11 31. 07. 2020 06:49

Dacu
Příspěvky: 63
Pozice: inženýr
Reputace:   
 

Re: Some triangles

kerajs napsal(a):

Really?
$ & \begin{cases} 180-B=100 \\ 180-C=162 \end{cases}  \vee  \begin{cases} 180-B=162 \\ 180-C=100 \end{cases}  \vee  \begin{cases} 180-B=108 \\ 180-C=150 \end{cases}  \vee \begin{cases} 180-B=150 \\ 180-C=108 \end{cases} \vee \\
&  \vee  \begin{cases} 180-B=120 \\ 180-C=135 \end{cases}  \vee  \begin{cases} 180-B=135 \\ 180-C=120 \end{cases}  $

Hello,

Yes!Why can't there be other combinations?Thank you very much!

All the best,

Dacu


"Don't worry about your difficulties to math.I assure you that mine are even bigger! ” Albert Einstein

Offline

 

#12 31. 07. 2020 07:56

kerajs
Příspěvky: 220
Reputace:   18 
 

Re: Some triangles

Because:
$ & \begin{cases} 0<180-B<180 \\ 0<180-C<180 \\ (180-B)(180-C)=180\cdot 90 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} 90<180-B<180 \\ 90<180-C<180 \\ (180-B)(180-C)=2^33^45^2 \end{cases}  $

Offline

 

#13 05. 08. 2020 08:18 — Editoval Dacu (05. 08. 2020 08:28)

Dacu
Příspěvky: 63
Pozice: inženýr
Reputace:   
 

Re: Some triangles

kerajs napsal(a):

Because:
$ & \begin{cases} 0<180-B<180 \\ 0<180-C<180 \\ (180-B)(180-C)=180\cdot 90 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} 90<180-B<180 \\ 90<180-C<180 \\ (180-B)(180-C)=2^33^45^2 \end{cases}  $

Hello,

My reasoning:

1) $A^2=B^2+C^2$
2) $(180-A)^2=(B+C)^2$
3) $B\cdot C=180\cdot(90-A)$ , $A<90^\circ$
4) $B+C=180-A$ , $B\cdot C=180\cdot (90-A)$ , $x^2-(180-A)\cdot x+180\cdot 90-180\cdot A=0$ , $x_1=B$ , $x_2=C$ , $B,C=\frac{(180-A)\mp \sqrt{A^2+360\cdot A-180^2}}{2}$
5) $A^2+360\cdot A-180^2>0$ , $75\leq A<90$
6) $A^2+360\cdot A-180^2=u^2$ , $u\in \mathbb N^*$
7) $A^2-u^2=360\cdot (90-A)$ , $(A-u)(A+u)=360\cdot (90-A)$ , $u<A<90$
8) $A=75^\circ$ , $A=78^\circ$ , $A=82^\circ$

All the best,

Dacu


"Don't worry about your difficulties to math.I assure you that mine are even bigger! ” Albert Einstein

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson