Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 10. 2020 19:29

hcetefil
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Konvergence rady s parametrem

Mam zjistit zda li je konvergentni tato rada $\sum_{n = 1}^{\infty }\frac{2^n}{a^n+n}$

a pokud ano pro jake $a$. Nevim jak zacit, naznacte mi prosim postup.

Offline

  • (téma jako nevyřešené označil(a) hcetefil)

#2 21. 10. 2020 11:46

Bati
Příspěvky: 2290
Reputace:   180 
 

Re: Konvergence rady s parametrem

Offline

 

#3 21. 10. 2020 12:52

surovec
Příspěvky: 480
Škola: SPŠ
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Konvergence rady s parametrem

↑ hcetefil:
Viděl bych to na odmocninové kritérium. Výsledek bych (bez výpočtu) tipnul |a| > 2.

Offline

 

#4 21. 10. 2020 20:17

hcetefil
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Re: Konvergence rady s parametrem

↑ Bati:

Napsali jste: Protoze $k$ je asymptoticky zanedbatelne vzhledem k $2^k$, okamzite dostavas ze nutne $|a|>2$.

Prosim muzete vysvetlit co to znamena asymptoticky zanedbatelne? Nerozumim tomu jak dostanete $|a|>2$.

↑ surovec:

Ale nerozumim tomu, odmocninove kriterium se da pouzit jenom kdyz jsou cleny kladne. Ale pro $a < 0$ cleny stridaji znamenka.

Offline

 

#5 22. 10. 2020 01:25

Bati
Příspěvky: 2290
Reputace:   180 
 

Re: Konvergence rady s parametrem

↑ hcetefil:
To znamena, ze
$\lim_{k\to\infty}\frac{k}{2^k}=0$. (*)

Podle nutne podminky konvergence rady musi platit
$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{a^n+n}=0$,
coz je ekvivalentni
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{a}{2})^n+\frac{n}{2^n}}=0$,
a to, podle (*), je ekvivalentni s
$\lim_{n\to\infty}(\tfrac{a}{2})^n=\infty$
odkud vidime, ze $|a|>2$.

Offline

 

#6 24. 10. 2020 19:39

hcetefil
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Re: Konvergence rady s parametrem

↑ Bati:

Aha, rozumim, dekuji za vysvetleni. A muzete prosim jeste objasnit:
"Konvergence pak plyne ze srovnavaciho kriteria, protoze $2^k>k$ pro dostatecne velke $k$. "

Offline

 

#7 24. 10. 2020 20:31 — Editoval Bati (24. 10. 2020 20:31)

Bati
Příspěvky: 2290
Reputace:   180 
 

Re: Konvergence rady s parametrem

↑ hcetefil:
jestlize $|a|>2$, pak $\frac{\frac{2^n}{a^n+n}}{(\frac{2}{a})^n}=\frac{1}{1+\frac{n}{a^n}}\to1$, takze podle lim. srovnavaciho kriteria rada konveguje prave kdyz $\sum_n(\tfrac{2}{a})^n$ konverguje

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson