Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 10. 2020 11:12

Malefic
Příspěvky: 41
Reputace:   
 

Diagonalizovatelná matice

Dobrý den,
mohla bych vás poprosit o radu, nasměrování nebo meněí pomoc s následujícím příkladem

Příkad má zadání
Najdětě matici $ A^{100}$
kde
$A=\begin{pmatrix}
  5 & 1\\ 
  -1 & 3
\end{pmatrix}$

To by mne vedlo na algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru  $ A^{100}=(P*D*P^{-1})^{100}$
tzn.
1/ Kořeny charakteristického polynomu jsou $ \lambda_{1,2}=4$
2 diagonalni matice D bude tedy ve tvaru
$D=\begin{pmatrix}
  4& 0\\ 
  0 & 4
\end{pmatrix}$

2/ po dosazení $ \lambda_{1,2}=4$  do $ (A-\lambda E) $ obdržím dvakrát stejnou matici
$\begin{pmatrix}
  1 & 1\\ 
  -1 & -1
\end{pmatrix}$

3/ ke každému $\lambda _{i}$ najdu vlastní vektory v1 a v2
$\begin{pmatrix}
  1 & 1\\ 
  -1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
  x_1\\ 
  x_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  0\\ 
  0
\end{pmatrix}$
$ x_{1}=-x_{2} $

$ v_1=\begin{pmatrix}
  1 \\ 
  -1
\end{pmatrix}$
$ v_2=\begin{pmatrix}
  1 \\ 
  -1
\end{pmatrix}$
4/ matici P můžu sestavit tak, že v1 a v2 budou sloupcové vektory matice této matice
mám tedy

$P=\begin{pmatrix}
  1 & 1\\ 
  -1 & -1
\end{pmatrix}$

Otázka: k matici P ale neexistuje inverzní matice  $ P^{-1}$ jelikož je singulární. Jak tedy najdu $ P^{-1}$ abych mohla dosadit do vzorce. Kde dělám chybu?
Děkuji Vám moc

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Malefic)

#2 09. 10. 2020 12:33 — Editoval laszky (09. 10. 2020 13:01)

laszky
Příspěvky: 1929
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ Malefic:

Ahoj. Problem bude v tom, ze matice A neni diagonalizovatelna. Jeji Jordanuv rozklad ma tvar

$
A = (u_1,u_2)\begin{pmatrix} 4& 1\\ 0 & 4 \end{pmatrix}(u_1,u_2)^{-1} 
$

Vektory $u_1$ a $u_2$ tedy splnuji rovnost

$
A(u_1,u_2) = (u_1,u_2)\begin{pmatrix} 4& 1\\ 0 & 4 \end{pmatrix},
$

neboli $(\lambda=4)$

$
(A-\lambda I)u_1=0
$
$
(A-\lambda I)u_2=u_1
$

Offline

 

#3 09. 10. 2020 12:48 — Editoval Malefic (09. 10. 2020 12:49)

Malefic
Příspěvky: 41
Reputace:   
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ laszky:
Dekuji za odpoved. Chapu, ale jak potom vyresim $A^{100}$ - konkretne chteji soucet cisel na hlavni diagonale a+d takove matice a vysledek by se mel rovnat $2^{201}$

$ trace(A^{100})=tr\begin{pmatrix}
  a & b\\ 
  c & d
\end{pmatrix}=a+d$

Offline

 

#4 09. 10. 2020 12:59

laszky
Příspěvky: 1929
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Offline

 

#5 09. 10. 2020 13:11

Malefic
Příspěvky: 41
Reputace:   
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ laszky:
aha, takhle jednoduse? Nerozumim prvku b = $ n \lambda^{n-1}$

Nejsem si jista, zda rozumim kdy pouzit diag. matice a kdy staci umocnit matici slozenou z vlastnich cisel, ale uz aspon vim, kde vzali ten vysledek.

Dekuji za pomoc :)

Offline

 

#6 09. 10. 2020 13:19

laszky
Příspěvky: 1929
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ Malefic:

Zkus si vztah

$
\begin{pmatrix}\lambda&1\\ 0&\lambda \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\ 0&\lambda^n \end{pmatrix}
$

dokazat sama matematickou indukci.

Offline

 

#7 09. 10. 2020 13:31

Malefic
Příspěvky: 41
Reputace:   
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ laszky:
Aha, chapu
zkusila jsem si matici postupne umocnovat napr. pro=2,3,4 a opravdu k tomu dojdu pro nejake n

napriklad $ A^{3}$

$ A^{3}=\begin{pmatrix}
  \lambda^{3} & 3 \lambda^{2}\\ 
  0 &  \lambda^{3}
\end{pmatrix}$

Dekuji

Offline

 

#8 09. 10. 2020 13:34

laszky
Příspěvky: 1929
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ Malefic:

Pozor, to ale neni matice A. Je to pouze jeji Jordanuv tvar. Kolik ti tedy vysla ta matice $A^{100}$?

Offline

 

#9 09. 10. 2020 14:07

Malefic
Příspěvky: 41
Reputace:   
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ laszky:
Ano, pravda. Neni to ta matice A v zadani ale jeji Jordan. tvar.
$ J=\begin{pmatrix}
  4 &1\\ 
  0 &  4
\end{pmatrix}$

Tnz. dosazenim dostanu $A^{100}=P*J^{100}*P^{-1}=J^{100}$ pokud  $P*P^{-1}$ je jednotkova matice?
$ J^{100}=\begin{pmatrix}
  4^{100} &100*4^{99}\\ 
  0 &  4^{100}
\end{pmatrix}$
soucet pak na hlavni diagonale $2^{200} + 2^{200}=2^{200}(2)=2^{201}$

Offline

 

#10 09. 10. 2020 14:22

laszky
Příspěvky: 1929
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ Malefic:

Toto neplati:

$P*J^{100}*P^{-1}=J^{100}$

Zkus si spocitat konkretni tvar matice P.

Nicmene plati toto

$\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB)$,

takze

$
\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(PJP^{-1})=\mathrm{tr}(JP^{-1}P)=\mathrm{tr}(J)
$

a mas tedy pravdu v tom, ze matici P opravdu neni nutne pocitat

Offline

 

#11 09. 10. 2020 19:13

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Pozdravujem ↑ Malefic:, ↑ laszky:
Na riesenie tohto cvicenia mozme poznamenat, ze
$A=4 I + J$ , kde $I$ je jednotkova matica a $ J=\begin{pmatrix}
  1 &1\\ 
  -1& -1
\end{pmatrix}$.
A staci konstatovat ze $J^2=O$, kde $O$ nulova matica.
Preto je vyhodne pouzit binonicku vetu co da lahko odpoved.  ( kolega ↑ Malefic: to iste z radostou doriesi ).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 10. 10. 2020 09:49

kerajs
Příspěvky: 229
Reputace:   19 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Alebo:

$
& A=\left[\begin{array}{cc}5&1\\-1&3\end{array}\right]\\
& A^2=\left[\begin{array}{cc}24&8\\-8&8\end{array}\right]\\
& A^{n+1}=A^n A\\
& \left[\begin{array}{cc}a_{n+1}&b_{n+1}\\c_{n+1}&d_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n}\\c_{n}&d_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5&1\\-1&3\end{array}\right] \\
&  \begin{cases} a_{n+1}=5a_{n}-b_{n} \\ b_{n+1}=a_{n}+3b_{n} \\ c_{n+1}=5c_{n}-d_{n} \\ d_{n+1}=c_{n}+3d_{n} \\ 
a_1=5 \wedge a_2=24 \wedge b_1=1 \wedge b_2=8 \wedge c_1=-1 \wedge c_2=-8 \wedge d_1=3 \wedge d_2=8 \end{cases} \\
&       .... \\
&       .... \\
&  \begin{cases} a_n=4^{n-1}(4+n) \\  b_n=n4^{n-1} \\  c_n=-n4^{n-1} \\  d_n=4^{n-1}(4-n)  \end{cases} \\
& A^{100}=\left[\begin{array}{cc}104 \cdot 4^{99}  & 100 \cdot 4^{99}  \\-100 \cdot 4^{99} &-96 \cdot 4^{99} \end{array}\right]

$

Offline

 

#13 10. 10. 2020 13:49 — Editoval vanok (11. 10. 2020 07:57)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Ahoj ↑ kerajs:,
Ano, tvoja velmi znama metoda ty zobrala iste dost casu.    Ak by si napisal vsetki podrobnosti tak  treba byt ozaj hrdina. 

Akoze, na moj popis nikto nereagoval tak tu pridam cele riesene z #11.
$A^{100}=(4 I + J)^{100}= (4 I)^{100} +100.(4I)^{99}J +O+...+O \\ =4^{100}I+100.4^{99}J$
KONIEC riesenia.

Pre zabavu skuste toto:
Ucite $A^n$  kde $ n  \in \Bbb Z$ ak
$ A=\begin{pmatrix}
  2 & 1 & -1\\ 
  0 & 2 & 1\\
  0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}$
( metodou akou chcete).

No doporucujem podonbnu metodu ako tu co som tu pouzil na cvicenie z #1.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 10. 10. 2020 22:41 — Editoval vanok (23. 10. 2020 10:23)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Poznamka.
Riesenie, ktore navrhujem su inspirovane teoremou rozkladu od Jordan&Chevalley ( niekedy ju volaju Dunford-ou teoremou).
Ide o rozklad typu D+N, kde D a N komutuju a  D je diagonalisable a tiez N je nilpotentna.  ( pozrite si o podronostiach vase prednasky).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 11. 10. 2020 12:24 — Editoval vanok (11. 10. 2020 18:45)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Indikacie na riesenie cvicenia z #13.
Tu je tiez lahko konstatovat, ze $ A=\begin{pmatrix}
  2 & 1 & -1\\ 
  0 & 2 & 1\\
  0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  2 & 0 &. 0\\ 
  0 & 2 & 0\\
  0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  0& 1 & -1\\ 
  0 & 0 & 1\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} = 2I + J$  kde $I$ je jednotkova matica a $ J= \begin{pmatrix}
  0& 1 & -1\\ 
  0 & 0 & 1\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$ a $ J^3=O$.

A tu $2I$ a $J$ komutuju;  $2I$ je diagonalizable  (dokonca diagonala  ) a $J$ je nilpotenntna. Tak iste to teraz viete ukoncit.   

Dolezita poznamka. 
Je velmi naivne mysliet, ze taketo jednoduche rozklady platia napr. pre lubovolne trojuholnikove matice.   ( Najdite protipriklad)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 16. 10. 2020 07:23 — Editoval vanok (16. 10. 2020 07:28)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Najdite rozlad Jordan-Chevalley matice ( cf #14)
$ \begin{pmatrix}
  1 & a & 0\\ 
  0 & 2 & b\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}$  .
Ide o ilustraciu dolezitej poznamky z #15.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#17 16. 10. 2020 13:54 — Editoval Pomeranc (16. 10. 2020 13:57)

Pomeranc
Příspěvky: 438
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Ahoj, tak nějak nevím, co máš přesně na mysli, ale něco k tomu napíšu.
$ \begin{pmatrix}
  1 & a & 0\\ 
  0 & 2 & b\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}=
 \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0\\ 
  0 & 2 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}+
 \begin{pmatrix}

  0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & b\\
  0 & 0 & 0\\
 \end{pmatrix}$

unilpotentní matice mi vyšla
$ \begin{pmatrix}
  1 & a & 0\\ 
  0 & 1 & b/2\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}$

Offline

 

#18 16. 10. 2020 14:11 — Editoval vanok (16. 10. 2020 14:32)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Ahoj ↑ Pomeranc:,
To nesplnuje poziadavky.

Pripominam, ze nilpotentna matica je takto definovana : https://en.wikipedia.org/wiki/Nilpotent_matrix .
A hladany rozklad je D+N, taky, ze D a N komutuju a D je diagonalizabotelna a N nilpotenta.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 16. 10. 2020 14:17 — Editoval vanok (16. 10. 2020 14:38)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Cakana ( a jedina mozna) dobra odpoved je
$ \begin{pmatrix}
  1 & a & 0\\ 
  0 & 2 & b\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}=
 \begin{pmatrix}
  1 & a & ab\\ 
  0 & 2 & b \\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}+
 \begin{pmatrix}

  0 & 0 & -ab\\ 
  0 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 0\\
 \end{pmatrix}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#20 16. 10. 2020 17:05

Pomeranc
Příspěvky: 438
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ vanok:

Tak snaha byla :D .
I když připadá mi, že jsem tím nepodařeným pokusem pokazila příklad ostatním,
protože už byl zveřejněn výsledek.

Offline

 

#21 16. 10. 2020 18:37

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Ahoj ↑ Pomeranc:,
No nevadi, pridam ine cvicenia,
Tak ci tak, tu islo o lahku variantu tohto problemu, bez velkych tazkosti. 
Na take cvicenie upozornim, ze netreba zabudnut overnit  komutavitu!!!
Naviac tento rozklad ma, medzi inym zajumavu aplikaciu, co sa tyka mocnin takychto matic.  ( vdaka binomickej vete!)
Tiez suvis zo stabilitou endomorfizmov je zaujimavy.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#22 22. 10. 2020 14:57

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Dalsie cvicenie :

Najdite rozlad Jordan-Chevalley matice ( cf #14)

$ \begin{pmatrix}
  4 & 0 & -1\\ 
  -1& 1 &  3\\
  0 &  -1&  4\\
 \end{pmatrix}$ .
Navod. Vypocitajte najprv charaktericky polynom tejto matice. Je tiez vyhodne pouzit teoremu Cayley-Hamilton.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#23 23. 10. 2020 10:19 — Editoval vanok (23. 10. 2020 14:48)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Tu  dokazeme, ze matica, ktoru oznacime $A$ v ↑ vanok: nie je diagonalizovatelna. 
(Jednoduchy) vypocet nam da jej charakteristicky polynom $ (X-3)^3$
A teorem od Cayley -Hamilton nam da, ze $A-3 I_3$ je nilpotentna ( kde $I_3 $ je jednotkova matica 3x3),
Staci poznamenat, ze $A=3I_3+(A-3I_3)$ aby sme dostali hladany rozklad, ktory je ....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#24 29. 10. 2020 09:02

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

Skuste teraz nast rozklad Jordan-Chevelley tejto matice:
$A= \begin{pmatrix}
  -2 & -1 & 1&2\\ 
  1& -4&  1&2\\
  0 & 0& -5&  4\\
  0& 0& -1&-1\\
 \end{pmatrix}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#25 30. 10. 2020 22:19 — Editoval vanok (31. 10. 2020 09:36)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Diagonalizovatelná matice

↑ vanok:,
Iste ste dokazali ze $A$ ma charakteristicky polynom $ (X+3)^4 $
(Pripadne ste mohli vyuzit, ze $A$je zaujimava trojuholnikova blokova matica )
Podobne ( co sa tyka myslienky) ako v predoslom cviceni mame, ze $ A+3I_4 $ je nilpotentna .... a tak lahko najdete pytany rozklad.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson