Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 11. 2020 18:07 — Editoval Anonymystik (20. 11. 2020 18:07)

Anonymystik
Příspěvky: 577
Reputace:   45 
 

Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

Zdravím.
Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku tak, aby vrcholy trojúhelníku splývaly s vrcholy pravidelného N-úhelníku? Úloha je celkem profláklá z různých sbírek, ale co si tak pamatuju, tak se typicky v této úloze dva trojúhelníky považují za různé, pokud se liší v poloze vrcholů (tvarem však mohou být shodné). Například trojúhelníky ABD a BCE by v té jednodušší variantě úlohy byly různé, přestože mají stejný tvar. Co kdybych je však chtěl považovat za shodné? Jinými slovy - co kdybych trojúhelníky rozdělil do tříd ekvivalence podle toho, zda mají shodný tvar a zajímal bych se, kolik takových tříd bude, jedná se o něco těžší úlohu (která ale má hezké řešení). Dneska jsem nad tím trochu přemýšlel a vyřešil jsem to. Troufáte si taky? :-)


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#2 20. 11. 2020 21:16 — Editoval surovec (20. 11. 2020 21:17)

surovec
Příspěvky: 478
Škola: SPŠ
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ Anonymystik:
Tak to je opravdu hezká úložka. Dopracoval jsem se k tomuto výsledku, ale za "hezké" řešení to nepovažuji, snad to jde nějak upravit:
$\sum_{i=1}^{\left[\frac{n}{3}\right]}\left(\left[\frac{n-3i}{2}\right]+1\right)$,
kde hranaté závorky označují celou část z čísla v závorkách.
Konkrétně to pro jednotlivá [mathjax]n[/mathjax] dává:
[mathjax]n=3:\,p=1[/mathjax]
[mathjax]n=4:\,p=1[/mathjax]
[mathjax]n=5:\,p=2[/mathjax]
[mathjax]n=6:\,p=3[/mathjax]
[mathjax]n=7:\,p=4[/mathjax]
[mathjax]n=8:\,p=5[/mathjax]
[mathjax]n=9:\,p=7[/mathjax]
[mathjax]n=10:\,p=8[/mathjax]
[mathjax]n=11:\,p=10[/mathjax]
[mathjax]n=12:\,p=12[/mathjax]
[mathjax]n=13:\,p=14[/mathjax]
[mathjax]n=14:\,p=16[/mathjax]
[mathjax]n=15:\,p=19[/mathjax]

Offline

 

#3 20. 11. 2020 21:53 — Editoval Anonymystik (20. 11. 2020 21:54)

Anonymystik
Příspěvky: 577
Reputace:   45 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ surovec: Zajímavý vzorec. Smím se zeptat na postup, jak na něj přijít? Na oplátku pak nabídnu svůj. :-)


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#4 20. 11. 2020 22:19

surovec
Příspěvky: 478
Škola: SPŠ
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ Anonymystik:
Jednotlivé sčítance sumy představují počet trojúhelníků s nejkratší stranou o délce [mathjax]i[/mathjax], kde toto [mathjax]i[/mathjax] vyjadřuje vzdálenost vrcholů. Např. pro 20úhelník může mít nejkratší strana délku 1 až 6 (to je to [mathjax]\left[ \frac{n}{3}\right][/mathjax]), konkrétně pro [mathjax]i=3[/mathjax] označme první vrchol číslem 1, druhý pak je ve 4 a třetí může být na pozici 7 až 12, což lze vyjádřit nějakým výrazem...

Offline

 

#5 21. 11. 2020 15:33 — Editoval Anonymystik (21. 11. 2020 15:46)

Anonymystik
Příspěvky: 577
Reputace:   45 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ surovec: jj, tohle zní legit. Otázka, jestli by to nějak elegantně šlo sečíst, aniž bys tu sumu musel štěpit na podpřípady a ty pak dělat separátně.

Já na to šel takto - rozdělil jsem si trojúhelníky na 3 kategorie:
i) různostranné ... počet různých typů označím [mathjax]x[/mathjax]
ii) rovnoramenné (ale ne rovnostranné) ... počet různých typů označím [mathjax]y[/mathjax]
iii) rovnostranné ... ten je buď jednoho typu (pokud N je dělitelné číslem 3), nebo žádný neexistuje. Označme počet typů jako [mathjax]z[/mathjax], kde [mathjax]z \in \{ 0, 1 \}[/mathjax].

Je tedy zjevné, že počet všech typů trojúhelníků bude [mathjax]P(N) = x+y+z[/mathjax]. Nyní stačí tyto čísla určit.

Půjdu na to trochu oklikou - budu si teď všímat i různých poloh. Ke každému typu trojúhelníku může existovat více různých poloh (viz zadání). Uvažme, že máme nějaký konkrétní 1 typ trojúhelníku a chceme určit počet poloh. Ten závisí na tom, zda ten typ trojúhelníku je různostranný (i), rovnoramenný (ii), nebo rovnostranný (iii).

i) Nejdřív umístím nejkratší stranu trojúhelníku. Tomu mohu udělat N způsoby. Následně si vyberu polohu vrcholu naproti nejdelší straně. To mohu udělat dvěma způsoby. Takže celkem ke každému typu různostranného trojúhelníku budu mít 2N různých poloh.
ii) U každého typu rovnoramenného trojúhelníku stačí umístit vrchol mezi dvěma rameny (to jde udělat N způsoby), pak je již poloha trojúhelníku určena jednoznačně.
iii) U rovnostranného trojúhelníku budu mít jen [mathjax]\frac{N}{3}[/mathjax] navzájem různých poloh (například rotací o 120° nic nového nezískám)

Pokud tedy zohledňuju i polohy, tak všech možných trojúhelníků ve všech možných polohách bude:
[mathjax]x \cdot 2N + y\cdot N + z \cdot \frac{N}{3}[/mathjax]

Já ale tento počet umím určit i jiným způsobem - mohu prostě zvolit libovolnou trojici vrcholů v původním [mathjax]N[/mathjax]-úhelníku (na jejich pořadí nezáleží), což lze provést [mathjax]N \choose 3[/mathjax] způsoby. Musí tedy platit:

[mathjax]{N \choose 3} = x \cdot 2N + y\cdot N + z \cdot \frac{N}{3} [/mathjax]

Počet typů různostranných trojúhelníků [mathjax]x[/mathjax] se určuje špatně. Ale počet rovnostranných trojúhelníků [mathjax]z[/mathjax] je buď 0, nebo 1 (viz poznámka výše). No a co počet všech rovnoramenných trojúhelníků [mathjax]y[/mathjax] ? To taky půjde:

Uvažme kružnici opsanou N-úhelníku - vrcholy N-úhelníku zde vymezují stejně dlouhé obloučky. Chceme zvolit délku ramena trojúhelníku (to je zde vlastně jediný stupeň volnosti). Co o ramenu víme? Rameno propojuje vrcholy vzdálené nejméně 1 oblouček a nejvýše (ale ne přímo rovno) [mathjax]\frac{N}{2}[/mathjax] obloučků. Takže délku ramena mohu zvolit [mathjax]\left \lfloor {\frac{N-1}{2}} \right \rfloor [/mathjax] způsoby. Musím si však dát pozor - nesmím započítat rovnostranný trojúhelník (pokud by se objevil). Takže jako opravu ještě odečtu [mathjax]z[/mathjax]:
[mathjax]y = \left \lfloor {\frac{N-1}{2}} \right \rfloor - z[/mathjax]

Po dosazení do rovnice výše:
[mathjax]{N \choose 3} = x \cdot 2N + \Big( \left \lfloor {\frac{N-1}{2}} \right \rfloor - z \Big) \cdot N + z \cdot \frac{N}{3}[/mathjax]

Odtud vyjádříme [mathjax]x[/mathjax]:
[mathjax]x = \frac{(N-1)(N-2)}{12} - \frac{1}{2} \left \lfloor \frac{N-1}{2}\right  \rfloor + \frac{z}{3}[/mathjax]

Celkový počet různých typů trojúhelníků je (viz úvaha výše) roven [mathjax]P(N) = x + y+ z[/mathjax]. Po dosazení:

[mathjax]P(N) = \frac{(N-1)(N-2)}{12} + \frac{1}{2} \left \lfloor \frac{N-1}{2}\right  \rfloor + \frac{z}{3}[/mathjax]

Připomínám, že [mathjax]z = 1[/mathjax] pro [mathjax]N[/mathjax] dělitelné třemi, [mathjax]z=0[/mathjax] v opačném případě.

Tím je úloha vyřešená.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#6 22. 11. 2020 09:09

surovec
Příspěvky: 478
Škola: SPŠ
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ Anonymystik:
Moc pěkné, tvůj vzorec je pro výpočet mnohem pohodlnější.

Offline

 

#7 22. 11. 2020 10:11

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ surovec:
Ahoj asi by bylo možné vyjádřit tu sumu pomocí uzavřeného tvaru, jen to bude trochu pracnější (rozlišit případy modulo 6, apod.), ale v podstatě jde o součet aritmetické posloupnosti.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#8 22. 11. 2020 13:05

surovec
Příspěvky: 478
Škola: SPŠ
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ check_drummer:
Ano, ano, to mě napadlo, i jsem tu posloupnost sečetl, ale vzhledem k tomu, že tam hraje roli ta odříznutá desetinná část, tak to nedávalo přesné (správné) výsledky.
A rovněž je pravda, že by to šlo rozdělit na šest tříd, u kterých by se vzorec dal polidštit (odstranit ty "celé části") a sečíst. Ale s tím by byla práce a já jsem docela línej člověk... :-)

Offline

 

#9 22. 11. 2020 16:28 — Editoval vanok (22. 11. 2020 16:29)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

Pozdravujem,
Napada ma aj takato varianta cvicenia z #1.
Kolko roznych trojuholnikov moze vpisananych do N-uholnika, ak aj dva isometricke trojuholniky, ktore sa nedaju stotoznit posunutiami a ani otoceniami a ani ich kombinaciami nepovazujeme  za totozne. 
Napr v pravidelnom 6-uholniku ABCDEF,  trojuholniky ABD a ABE su take nestotozitelne.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 22. 11. 2020 16:56

surovec
Příspěvky: 478
Škola: SPŠ
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ vanok:
[mathjax]2x+y+z[/mathjax] ;-)

Offline

 

#11 22. 11. 2020 19:01 — Editoval check_drummer (22. 11. 2020 19:04)

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ surovec:

Ještě jsem zkoušel, zda se nedá vymeyslet nějaký obecný postup: Označme hledaný počet p(n) (ve tvaru té sumy). Zkoumejme diference mezi p(n+1) a p(n), tato diference vychází celkem pěkně:

Mezi 6k a 6k+1: k
Mezi 6k+1 a 6k+2: k
Mezi 6k+2 a 6k+3: k+1
Mezi 6k+3 a 6k+4: k
Mezi 6k+4 a 6k+5: k+1
Mezi 6k+5 a 6(k+1): k+1

teď jde jen o to z toho vytvořit nějaký vzorec. Samozřejmě můžu tvrdit, že se dá z těch diferencí ten Anonymystikův vzorec vykoukat a pak dokázat indukcí, ale možná půjde něco lepšího.

Možná bude existovat i obecný postup, kdy diference je polynom v proměnné k a místo 6k+i budu mít obecně mk+i.

(A diference těch diferencí vypadá ještě více pěkně: 0,1,-1,1,0,0.)


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#12 22. 11. 2020 19:15

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ surovec:.  👍


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 22. 11. 2020 20:47 — Editoval vanok (22. 11. 2020 20:54)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

Ahoj ↑ check_drummer:,
Zda sa mi, ze pocet hladanych rieseni v #1 je prirozdzene cislo najlblizsie k [mathjax]\frac {(N+3)^2}{12}[/mathjax]
Co je tiez pocet prirodzenych  rieseni (nuloych alebo kladnych) diofanttickej rovnice [mathjax]a+2b+3c=N[/mathjax]


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 Dnes 17:55

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ vanok:
Shodou okolností jsem to teď zkoumal vychází mi to jako nejbližší celé číslo k [mathjax]\frac {N^2}{12}[/mathjax]. :-) Ale možná je obojí správně nebo obojí špatně.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#15 Dnes 18:14 — Editoval Anonymystik (Dnes 18:18)

Anonymystik
Příspěvky: 577
Reputace:   45 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ check_drummer: Já teď začal kvůli tomu problému studovat Pólyovu enumerační teorii, abych tento druh problémů uměl řešit obecněji. Například kdybych trojúhelník nevpisoval do pravidelného mnohoúhelníku, ale třeba na obvod čtvercové mřížky (a pouze do mřížových bodů), nebo do vrcholů nějakého Platónského tělesa, apod. Jiné zobecnění by mohlo být, kdybychom nevpisovali trojúhelníky, ale obecně M-úhelníky.
--
Uvědomil jsem si, že tento druh problémů souvisí se symetriemi, k jejichž popisu se používá teorie grup. No tak jsem to začal studovat, prokousal jsem se až k Burnsidovu lemmatu, ale to v daném kontextu nejde jednoduše použít, tak musím šáhnout ještě k tomuhle:
https://en.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3ly … on_theorem
--
Je to docela zajímavé čtení.
--
Jinak ten problém s N-úhelníkem mi přinesla přítelkyně, že ho řešili ve škole, tak jsem to s ní začal řešit a uvědomil jsem si, že je to netriviální a že by se to možná hodilo i sem (jen abyste věděli story, kde se úloha vzala :-D ).


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#16 Dnes 19:34 — Editoval check_drummer (Dnes 19:40)

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Kolik různých trojúhelníků lze vepsat do pravidelného N-úhelníku

↑ Anonymystik:
Já tu teorii také kdysis četl, jen si nejsem jist, zda ti dá návod jak ty sumy vyjádřit v hezkém tvaru. :-)
JInak ten svůj vzorec z púosledního příspěvku jsem zkontroloval na 100000 čísel a sedělo to. Možná to půjde i snadno dokázat.

Vypadá to, že to platí, protože to, o kolik se liší tvůj vzorec od zaokrouhlední čísla [mathjax]\frac{N^2}{12}[/mathjax] je nějaký malý zlomek menší než 1/2, takže to tak musí být.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson