Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 11. 2020 17:28

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Hra s pravděpodobností

Ahoj. Nechť hraju se soupeřem hru kdo dříve nasbírá dva žetony. Střídáme se v tazích a každý v každém tahu s pravděpodobností $p$ získá žeton. Nechť soupeř v prvním tahu žeton získal a teď je můj tah. Otázka je, jaká musí být hodnota $p$, abych měl největší šanci na výhru.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#2 20. 11. 2020 20:25

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: Hra s pravděpodobností

řekl bych že p=0

ale čistě jen intuitivně, protože kdyby bylo p=1, tak tvá naděje na výhru je nulová, a čím bude p menší, tím je větší naděje, že se hra potáhne déle (a nevidím žádný důvod, proč by při nějaké hodnotě p měla mít tvá naděje na výhru maximum). Intuitivně bych řekl, že při p=0 bude naděje 50:50, a při jakékoliv vyšší hodnotě bude horší.

Offline

 

#3 21. 11. 2020 17:48

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ MichalAld:
Při p=0 bude nadeje na výhru 0. Lepší řešení dá určitě jakákoliv jiná pravděpodobnost různá od 1.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#4 21. 11. 2020 18:39 — Editoval laszky (21. 11. 2020 18:49)

laszky
Příspěvky: 1913
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ check_drummer:

Mne ta pravdepodobnost vysla [mathjax]\frac{1-p}{(2-p)^2}[/mathjax], coz je nejvetsi pro [mathjax]p\approx 0[/mathjax].

Offline

 

#5 22. 11. 2020 00:29

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ laszky:
Ale pro p=0 to podle toho vzorece vychází 1/4, ale podle mě je 0.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#6 22. 11. 2020 00:48 — Editoval laszky (22. 11. 2020 00:51)

laszky
Příspěvky: 1913
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ check_drummer:

Ok, vzorecek plati pro [mathjax]p\in(0,1][/mathjax]. Situace [mathjax]p=0[/mathjax] nemuze nastat, protoze souper uz zeton ziskal. A tedy [mathjax]p[/mathjax] je nutne nenulove. Jinak pokud by zvitezil ten, ktery poprve bude mit o dva zetony vic (a souper vede 1:0), potom mi vysla pravdepodobnost [mathjax]\frac{p}{6-p}[/mathjax] a ta je zase nejvetsi pro [mathjax]p\approx1[/mathjax] (samozrejme uvazujeme zase [mathjax]p<1[/mathjax])

Offline

 

#7 22. 11. 2020 00:48

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ MichalAld:
Když nemá ani jeden žádnou šanci, tak si nejsem jist, zda se kolem té hodnoty p=0 pohybuje naše hledaná pravděpodobnost výhry spojitě.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#8 22. 11. 2020 15:41

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: Hra s pravděpodobností

Je to prostě limita ... v zadání si nestanovil žádné omezení na počet tahů ... takže ten bude asi nějak úměrný 1/p, ale ten tě nezajímá, zajímá tě jen výsledek. Nezapomeň že nula krát nekonečno je neurčitý výraz, není to nutně nula...

Offline

 

#9 22. 11. 2020 18:53

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ MichalAld:
Limitu můžeš použít, jen je-li hledaná pravděpodobnost v okolí 0 spojitá, a je?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#10 22. 11. 2020 18:58

laszky
Příspěvky: 1913
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ check_drummer:

p=0 nemuze nastat, protoze souper uz jeden zeton ziskal.

Offline

 

#11 22. 11. 2020 21:26 — Editoval MichalAld (22. 11. 2020 21:32)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: Hra s pravděpodobností

No, v principu mohou nastávat i věci, jejichž pravděpodobnost je nulová (pokud takovou definici pravděpodobnosti připouštíme).
Jako třeba vybrat náhodné číslo z množiny přirozených čísel...

To co už nastalo, to už není pravděpodobnost. Takže my vlastně řešíme jaká je pravděpodobnost, že my dříve získáme dva žetony než protivník jeden.

Offline

 

#12 22. 11. 2020 21:30

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ check_drummer:

Ale řekněme, že případem p=0 se nebudeme zabývat ... ale v ostatních případech, tj (0, nekonečno] - myslíš že někde okolo té nuly je nějaká nespojitost? Jako někde mezi 0.0001 a 0.0002 ? Proč by měla (být zrovna tam) ? A proč obecně někde jinde ?

Offline

 

#13 22. 11. 2020 21:40

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: Hra s pravděpodobností

Prostě pokud je řešením úlohy p=0 ve smyslu limity, znamená to že čím bude p menší, tím větší bude naše šance na výhru. A nelze najít nějaké p, které by bylo dostatečně malé na to, aby jeho dalším snižováním už pravděpodobnost výhry nerostla, ale klesala. Samozřejmě, pořád víme, že p=0 nemůžeme použít, protože pak to přestane dávat smysl, ale jinak čím menší, tím lepší.

Offline

 

#14 Dnes 17:58

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ MichalAld:
Na (0;1) nesp[ojitost nebude, já psal v té 0 (resp. jsem psal v okolí 0, ale myslel jsem v 0 a že pro ověření spojitosti potřebujeme zkoumat okolí 0).


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#15 Dnes 18:00

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ laszky:
Ahoj. A jak jsi ten vzorec odvodil?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#16 Dnes 19:49

laszky
Příspěvky: 1913
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Hra s pravděpodobností

↑ check_drummer:

Ahoj. Oznacme
[mathjax]p_{1A}[/mathjax] - pravdepodobnosti, ze vyhraju, stav je 0:1 a na tahu jsem ja
[mathjax]p_{1B}[/mathjax] - pravdepodobnosti, ze vyhraju, stav je 0:1 a na tahu je souper
[mathjax]p_{2A}[/mathjax] - pravdepodobnosti, ze vyhraju, stav je 1:1 a na tahu jsem ja
[mathjax]p_{2B}[/mathjax] - pravdepodobnosti, ze vyhraju, stav je 1:1 a na tahu je souper

Pak

[mathjax]p_{1A}=(1-p)\cdot p_{1B} + p\cdot p_{2B}[/mathjax]
[mathjax]p_{1B}=(1-p)\cdot p_{1A} [/mathjax]
[mathjax]p_{2A}=(1-p)\cdot p_{2B} + p[/mathjax]
[mathjax]p_{2B}=(1-p)\cdot p_{2A}[/mathjax]

Z poslednich dvou rovnic ziskas [mathjax]p_{2B}=(1-p)^2\cdot p_{2B}+(1-p)p[/mathjax], nebo-li [mathjax]p_{2B}=\frac{1-p}{2-p}[/mathjax].

Z prvnich dvou rovnic pak plyne, ze [mathjax]p_{1A}=(1-p)^2\cdot p_{1A}+p\cdot\frac{1-p}{2-p},[/mathjax] neboli [mathjax]p_{1A}=\frac{1-p}{(2-p)^2}[/mathjax].

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson