Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 21. 03. 2021 13:53 — Editoval Zoli7114 (21. 03. 2021 16:38)

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D (2 Dimenzia - rovina) a v 3D (3 Dimenzia - priestor)

základné rovnice:
[mathjax]φ^{x+1}=φ^{x}+φ^{x-1}[/mathjax]
[mathjax]φ^{1}=(1+5^{0,5})/2=(φ^{0}+5^{0,5})/2[/mathjax]

φ v exponenciálnej podobe:
[mathjax]k_{φ}=\lnφ[/mathjax]
[mathjax]φ^{x}=e^{k_{φ}x}[/mathjax]

derivácie φ:
[mathjax](φ^{x})´=k_{φ}φ^{x}[/mathjax]
[mathjax](φ^{x})´´=k_{φ}^{2}φ^{x}[/mathjax]
[mathjax](φ^{x})´´´=k_{φ}^{3}φ^{x}[/mathjax]

2D dľžka špirály φ:
[mathjax]\alpha =\pi /2=90[deg][/mathjax]
[mathjax]k_{2D}=(k_{φ}^2+\alpha ^2)^{0,5}/k_{φ}[/mathjax]
[mathjax]φℓ_{2D(x_{1};x_{2})}=k_{2D}(φ^{x_{2}}-φ^{x_{1}})[/mathjax]

hladám dľžku 3D špirály φ: [mathjax]φℓ_{3D}[/mathjax], ktorá je v tvare podobnom ako dľžka 2D špirály φ: [mathjax]φℓ_{2D}[/mathjax].

k parametrizácii 3D špirály φ, 3 rozmerná krivka:
časť 2D špirály φ, [mathjax]φ^{0}→φ^{1}[/mathjax] sa dá popísať priemerom vpísanej kružnice a stranou štvorca:
[mathjax]k=d_{0}=a_{0}=((φ^{0}+φ^{2})/2)^{0,5}[/mathjax]
3D špirála φ sa nachádza
- na ploche kužela:
[mathjax]k_{k}=(φ^{0}+k^{2}φ^{2})^{0,5}[/mathjax]
- vrchol kužela je pod rovinou 2D špirály vo vzdialenosti:
[mathjax]v_{k}=kφ^{1}[/mathjax]
- uhol kužela:
[mathjax]\beta _{k}=\text{atg}(φ^{0}/v_{k})=\text{atg}(v_{k}^{-1})[/mathjax]

parametrické vyjadrenie 3D špirály φ, vo sférickej sústave:
[mathjax]r_{(t)}=k_{k}φ^{t}[/mathjax]
[mathjax]\alpha _{1(t)}=\beta _{k}[/mathjax]
[mathjax]\alpha _{2(t)}=[90deg]t[/mathjax]
v rozmedzí napríklad: [mathjax]t\sim  (-4;4)[/mathjax]

podklady k stiahnutiu :
https://uloz.to/tamhle/9kSgawN1Toce

za každú pomoc, radu vopred ďakujem.

Offline

 

#2 21. 03. 2021 16:53

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

↑↑ laszky:

pozrite, prosím:
φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

Offline

 

#3 22. 03. 2021 00:35

laszky
Příspěvky: 2116
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   186 
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

↑ Zoli7114:

Takze, jestli to dobre chapu, plati:

[mathjax] {\displaystyle x(t) = (k_k\cos\beta_k)\;  \varphi^t\cos\frac{\pi}{2}t}  [/mathjax]
[mathjax] {\displaystyle y(t) = (k_k\cos\beta_k)\;  \varphi^t\sin\frac{\pi}{2}t}  [/mathjax]
[mathjax] {\displaystyle z(t) = (k_k\sin\beta_k)\;  \varphi^t}  [/mathjax]

Takze

[mathjax] {\displaystyle  L(t_1,t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(x'(\tau))^2+(y'(\tau))^2+(z'(\tau))^2} \,\, \mathrm{d}\tau  = k_k\frac{\sqrt{\ln^2\varphi+\frac{\pi^2}{4}\cos^2\beta_k}}{\ln\varphi} \left(\varphi^{t_2}-\varphi^{t_1}\right)}  [/mathjax]

Offline

 

#4 22. 03. 2021 10:33 — Editoval Zoli7114 (22. 03. 2021 14:28)

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

ďakujem,
prepis zo sférickej do kartesianskej sústavy je možno chybný, alebo ja som zle pochopil.

[mathjax]k_{cos}=k_{k}cos\beta _{k}=2,395*0,90866\doteq 2,1762[/mathjax]
[mathjax]k_{sin}=k_{k}sin\beta _{k}=2,395*0,41753\doteq 1,0[/mathjax]
a potom:
[mathjax]z_{(t)}=\varphi ^{t}[/mathjax]

krivky sa nezhodujú (hlavne vo výške - os z) viď obrázok.
https://ulozto.sk/tamhle/zqKMaIzUh0Js

prosím o kontrolu ...

Offline

 

#5 22. 03. 2021 11:50 — Editoval Zoli7114 (22. 03. 2021 14:29)

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

... stúpanie špirály po povrchu kužela (v smere osi z) je závislá od  φ, ako aj od kociek ....
[mathjax]r_{(t)}=k_{k}\varphi ^{t}[/mathjax] vo sférickej sústave vychádza z vrcholu kužela a vtedy je polomer funkciou len φ.
v kartesianskej sústave je [mathjax]z_{(t)}[/mathjax] funkciou φ, ale treba brať ohľad aj na skokové zmeny zapríčinené rozlične veľkými kockami. kocky sa točia okolo stredu špirály-osi kúžela a krivka prechádza ich dvomi, protilahlými vrcholmi.

grafické podrobnosti:
https://ulozto.sk/tamhle/vJCLSA9iW7r9

Offline

 

#6 22. 03. 2021 16:01

laszky
Příspěvky: 2116
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   186 
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

↑ Zoli7114:

Ahoj, tak zde napis spravny prepis do kartezske soustavy souradnic. Pripadne si delku spiraly muzes rovnou spocitat sam - navod jaky integral spocitat mas v mem predchozim prispevku.

Offline

 

#7 22. 03. 2021 16:37 — Editoval Zoli7114 (22. 03. 2021 16:42)

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

Zdravím pán "laszky",
nežiadal som Vás o poučovanie, ale o pomoc.
Netreba sa urážať, keď je vo výpočte chyba.
.... keby som vedel urobiť uvedené sám, tak nežiadam pomoc na fóre ... a nechápem Váš postoj, pričom odmietam "žiacky" tón kommunikácie .... akceptujem, že neviete, alebo nechcete pomôct a ďakujem za doterajšie usmernenie.
Prajem pekný zvyšok dňa...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson