Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 04. 2021 20:54

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

ahoj, mám zásek. Mohl by mě někdo navést, jak dostat vrcholový tvar z rovnice?

(x-3).(y+2)=-6

Offline

 

#2 07. 04. 2021 21:09

marnes
Příspěvky: 10608
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
řekl bych, že zde jde o rovnoosou hyperbolu, kde asymptoty jsou rovnoběžné s osou x a y. Jinak řečeno lineární lomená funkce

[mathjax](x-3).(y+2)=-6[/mathjax]

[mathjax]y+2=\frac{-6}{x-3}[/mathjax]

[mathjax]y=\frac{-6}{x-3}-2[/mathjax]


Jo. A na začátku vás zdravím.

Offline

 

#3 07. 04. 2021 21:22

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ marnes: no jo, ale já  asi hledám středový tvar :-)

[mathjax](x-m)^{2}/a^{2}-(y-n)^{2}/b^{2}=1[/mathjax]

celý ten příklad je o tom, že mám napsat rovnici tečny v daném bodě (2,4) a ověřit, že mají jen tenhle společný bod...

tak mám pocit, že se bez toho středového tvaru nehnu...

Offline

 

#4 07. 04. 2021 21:41 — Editoval marnes (07. 04. 2021 21:43)

marnes
Příspěvky: 10608
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:

[mathjax](x-m)^{2}/a^{2}-(y-n)^{2}/b^{2}=1[/mathjax]

Tento tvar nejde získat. Všimni si, že v tvém zadání není ani x a ni y na druhou.

Osobně bych:
1) pomocí derivace určil rovnici tečny
2) ověřil (i když nevím proč, když to bude tečna), že je jen jeden společný bod

Př.3 - návod
http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%2 … erivace%20(te%C4%8Dny,%20limity).pdf


Jo. A na začátku vás zdravím.

Offline

 

#5 07. 04. 2021 21:59

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ marnes: pořád jsem byla v naději, že pokud je to hyperbola, tak ten středový tvar z toho prostě nějak dostat půjde. :-/

Offline

 

#6 07. 04. 2021 22:20 — Editoval marnes (07. 04. 2021 22:21)

marnes
Příspěvky: 10608
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
Hm, tak s tím ti nepomohu. Budeš muset akceptovat, že existuje i jiný tvar hyperboly, kde není x a y na druhou. Nicméně zadaný úkol lze splnit. Návod jsem přiložil. A nebo někdo dodá jinou možnost řešení.


Jo. A na začátku vás zdravím.

Offline

 

#7 07. 04. 2021 22:27

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ marnes: dá se k tomu, vzhledem k zadání, přistoupit i jinak - tj. určit rovnici přímky, když znám společný bod, jinak než derivací?

Offline

 

#8 07. 04. 2021 22:42

marnes
Příspěvky: 10608
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
Zeptám se já. Jak jste řešili vzorové příklady? Dostali jste nějaké studijní materiály, ne? Neříkej, že z ničeho nic přistál tento příklad?


Jo. A na začátku vás zdravím.

Offline

 

#9 07. 04. 2021 23:01

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ marnes: jsem na individuálu ze zdravotních důvodů, takže ano, přistál.
materiály, které mám k dispozici ze školy, jsou hodně skromné. vzorové příklady skoro žádné. jedu podle realisticky a zadanou sadu příkladů zvládnu většinou podle realisticky, ale tento jediný tam není a vymyká se tím, že nejde převést na středový tvar.

Offline

 

#10 07. 04. 2021 23:08

marnes
Příspěvky: 10608
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
Jak jsem psal. Já jinou radu nemám, třeba se někdo připojí a poradí jiný postup.


Jo. A na začátku vás zdravím.

Offline

 

#11 07. 04. 2021 23:15

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ marnes:to je v pohodě, s tím se poperu, na derivaci jsou kalkulačky a dle popsaného postupu to dám. vypočtu směrnici přímky - s tou pracovat umím.

Ale derivace jsme nebrali, koukám, že by se to mělo dělat až ve čtvrťáku, proto se divím, že by se po mně chtělo řešení zahrnující tenhle postup.

Říkám si, že by to mělo jít jinak.

A tak nějak se fakt nemůžu smířit s tím, že by tenhle tvar nešel převést na ten středový :-D

Offline

 

#12 08. 04. 2021 06:29

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 12435
Reputace:   897 
Web
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
Abys to mohl převést na tvar z příspěvku #3, musí mít hyperbola osy rovnoběžné s osami souřadnic. Což tato nemá. Takže to skutečně nepůjde.

Pokud neumíš derivace, napiš si tečnu ve tvaru $y=ax+b$, dosaď do rovnice hyperboly a spočítej diskriminant. Tečna ho musí mít nulový.


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#13 08. 04. 2021 08:43

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ zdenek1: a nebudu mít v tu chvíli rovnici o třech neznámých (x, a, b), tj. něco, co se nedá řešit?

Offline

 

#14 08. 04. 2021 09:10 — Editoval Cheop (08. 04. 2021 12:00)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 8166
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   366 
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
Když do rovnice tečny
$y=ax+b$ dosadíš bod dotyku (2,4) dostaneš:
$y=ax-2a+4$
z rovnice hyperboly
$(x-3)(y+2)=-6$ vyjádříš y a dostaneš:
$y=\frac{-6}{x-3}-2\\y=\frac{-2x}{x-3}$
Protože hyperbola a tečna mají společný bod musí platit:
$\frac{-2x}{x-3}=ax-2a+4$ úpravou dostaneš kvadratickou rovnici s parametrm a jejíž diskriminant musí být roven 0 (jeden společný bod)
Vypočítáš parametr a, následně pak rovnici tečny.
Mělo by Ti vyjít:


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#15 08. 04. 2021 09:24 — Editoval kristynak (08. 04. 2021 09:33)

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ Cheop: koukám na to, ale ještě mi nějaký článek chybí, abych pochopila ten první krok - dosazení bodu dotyku do rovnice tečny.

při dosazení souřadnic (2,4) do rovnice přímky y=ax+b bych měla dostat 4=a.2+b, takže ještě něco pořád nepobírám. nemůžeš mě prosím navést?

Offline

 

#16 08. 04. 2021 09:39

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 8166
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   366 
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
dostaneš:
$4=2a+b\\b=-2a+4$ b dosadíš do rovnice tečny $y=ax+b$ adostaneš tečnu ve tvaru:
$y=ax-2a+4$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#17 08. 04. 2021 09:42

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ Cheop:  <3 díky moc, jdu si to spočítat.

Offline

 

#18 08. 04. 2021 12:41

laszky
Příspěvky: 2116
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   186 
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:

Ahoj, jinak rovnici

[mathjax]{\displaystyle (x-3)(y+2)=-6}[/mathjax],

lze prevest na tvar

[mathjax]{\displaystyle \frac{(x-y-5)^2}{24}-\frac{(x+y-1)^2}{24}=1,}[/mathjax]

ze ktereho muzes tu tecnu spocitat zpusobem, ktery znas.

Offline

 

#19 09. 04. 2021 08:36 — Editoval kristynak (09. 04. 2021 08:44)

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ Cheop:

ahoj, stejně se k tomu nemůžu dobrat.
dostanu se na kvadratickou rovnici [mathjax]ax^{2}+5ax-6a-6x+12=0[/mathjax]
z toho pak třeba [mathjax]a.(x^{2}+5x-6)-6x+12=0[/mathjax]

z toho mi vyjde že je rovnice řešitelná jen pro a=0 (pak je x = 2), ale to jsem asi jinde, než mám být.

takže se vrátím k původní myšlence, že je třeba nechat tu rovnici, jak je, a položit D=0.
Jak z toho poskládat ty členy do diskriminantu?

Co je tady ve vzorci pro diskrimant "a", "b" a "c"? a = a? b = (5a-6)? c = (-6a+12)?
z [mathjax]D=(5a-6)^{2}-4.a*(-6a+12)[/mathjax] vyjdou divný čísla... :-/

Offline

 

#20 09. 04. 2021 09:07

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 8166
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   366 
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
$\frac{-2x}{x-3}=ax-2a+4\\-2x=ax^2-2ax+4x-3ax+6a-12\\ax^2-5ax+6x+6a-12=0\\ax^2-x(5a-6)+6a-12=0$
Diskriminant =0
$(5a-6)^2-4a(6a-12)=0\\25a^2-60a+36-24a^2+48a=0\\a^2-12a+36=0\\a_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{144-4\cdot 36}}{2}\\a_{1,2}=\frac{12\pm 0}{2}\\a=6$
rovnice tečny:
$y=ax-2a+4\\y=6x-12+4\\y=6x-8$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#21 09. 04. 2021 09:34

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ Cheop:jo, já tam někde zpřeházela znamínka. tak znova.

Offline

 

#22 10. 04. 2021 08:07

kristynak
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

Cheope - můžu se zeptat na jednu věc?
proč nemůžu prostě do tohohle vrazit tu 2 za x a dojít k a?

$\frac{-2x}{x-3}=ax-2a+4$

Snažím si to nějak poskládat v hlavě, jak a proč to funguje. Rozumím té derivaci - derivace je z definice tečna ke grafu.

ale tady si nedokážu v hlavě poskládat smysl toho, že nejdřív doplním bod, abych se zbavila jedné neznámé - b -  ale pak už s tím společným bodem nepracuju. 

Ale je to jen jeden příklad z pěti, co jsme na to téma měli, a jediný výrazně odlišný, tak jestli nemáš čas, chápu. Jen mě to zajímá, protože se někde v těch krocích ztrácím. Obvykle když vidím řešení, tak věci pochopím, ale tady se v tom řetězci úvah ztrátím.

Offline

 

#23 10. 04. 2021 09:24

jarrro
Příspěvky: 5313
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   299 
Web
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

Lebo každá priamka y=ax-2a+4 prechádza bodom (2,4)
Teda dosadenie x=2 do $\frac{-2x}{x-3}=ax-2a+4$ ti len povie, že 4=4 čo je zrejmé aj bez dosadenia


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#24 10. 04. 2021 09:27 — Editoval Cheop (10. 04. 2021 10:03)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 8166
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   366 
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

↑ kristynak:
Ale Ty s tím společným bodem pracuješ.
Pracuješ s touto rovnicí:
$\frac{-2x}{x-3}=ax-2a+4$ kde  levá strana je rovnice hyperboly a pravá strana je rovnice té tečny.(tečný bod leží jak na té hyperbole tak na té tečně)
A protože tečna má s hyperbolou 1 společný bod a  po úpravě té rovnice Ti vyjde kvadratická rovnice s parametrem a
pak diskriminant kv. rovnice musí být 0 (tato rovnice má 1 dvojnásobný kořen)
Diskriminant po úpravě bude:
$(5a-6)^2-4a(6a-12)=0$ a z této rovnice vypočítáš to a a pak dopočítáš rovnici tečny.

PS: Já vím, že rychlejší je zderivovat  toto
$y=\frac{-2x}{x-3}$ a dosadit do derivace za x dvojku a dopočítat a  a toto dosadit do rovnice $y=ax+b$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#25 10. 04. 2021 13:36

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3725
Reputace:   105 
 

Re: převod rovnice hyperboly na vrcholový tvar

kristynak napsal(a):

↑ marnes: pořád jsem byla v naději, že pokud je to hyperbola, tak ten středový tvar z toho prostě nějak dostat půjde. :-/

Ono už to tady zaznělo, ale já to klidně ještě zopakuji. Oni vám totiž ve škole nejspíš zatajili jednu věc ... že ta obecná rovnice hyperboly, jak se jí učíte (nebo ta v tom středovém tvaru) nezahrnuje všechny hyperboly co existují. Obnáší jen hyperboly jejichž osa je rovnoběžná s jednou ze souřadných os (buď je hperbola podél x, nebo podél y).

Ale existují i hyperboly různě natočené ... a abychom je dokázali popsat, museli bychom do rovnice doplnit ještě tzv. smíšený člen, tedy x*y. A tomu se, pokud vím, ve škole vyhývají jak čert kříži. Jediná výjimka je ta rovnoosá hyperbola, jejíž rovnice je speciálně jednoduchá, tedy x*y = c.

Natočenou hyperbolu pochopitelně nelze jednoduše převést na středový tvar (ani na žádný jiný, který by neobsahoval smíšený člen x*y). Ale co udělat lze je, že si natočíme souřadný systém - tedy namísto x,y si zavedeme jiné osy x', y', které budou vůči předchozímu systému pootočené ... tak, aby odpovídaly osám té hyperboly. A v těchto nových souřadnicích nám smíšený člen zmizí a tím pádem můžeme napsat středový tvar.


Nají, jak správně natočit souřadný systém není úplně triviální úkol (proto se to asi na středních školách nedělá), ale v tomhle případě je to jednoduché, protože víme, že rovnoosá hyperbola je natočená přesně o 45° ... takže když o tolik otočíme nové osy, jsme hotovi.


Nový souřadný systém tedy získáme ze starého takto:
[mathjax]x'=(x+y)/\sqrt{2}[/mathjax]
[mathjax]y'=(x-y)/\sqrt{2}[/mathjax]

Nám se bude víc hodit inverzní tvar, tedy
[mathjax]x=(x'-y')/\sqrt{2}[/mathjax]
[mathjax]y=(x'+y')/\sqrt{2}[/mathjax]

(je možné, že tam mám nějakou drobnou chybu s těmi znaménky, nechce se mi to teď moc promýšlet, ale to je jedno). Když tohle dosadíš do své rovnice
[mathjax](x-3)(y+2)=-6[/mathjax]
tedy
[mathjax](\frac{x'}{\sqrt{2}}-\frac{y'}{\sqrt{2}}-3)(\frac{x'}{\sqrt{2}}+\frac{y'}{\sqrt{2}}+2)=-6[/mathjax]
tak uvidíš, že smíšené členy se navzájem odečtou a zmizí. Pak to už můžeš převést na svůj vysněný středový tvar - akorát je to prostě v jiných souřadnicích. Pak tam v principu můžeš zase dosadit za x' a y', a dostaneš rovnici, co zmínil lazsky.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson