Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 05. 2021 22:15

striga
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Dvojný integrál s transformací do polárních souřadnic

Dobrý den, zkoušel jsem si počítát dvojné integrály a narazil jsem na jeden příklad u kterého si nevím rady. Integrál je zadán ve tvaru [mathjax]\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \,dx\,dy[/mathjax], kde [mathjax]D: x^2+y^2\le 2y;   y\ge |x|[/mathjax]. Vím, že definiční obor je plocha ohraničená kruhem se středem v [mathjax][x;y]=[0;1][/mathjax] s poloměrem 1 a plochou omezenou absolutní hodnotou. Z těchto údajů jsem definoval polární souřadnice [mathjax]x=r\cos \varphi [/mathjax] a [mathjax]y=r\sin \varphi +1[/mathjax] s J=1, kde by úhel byl [mathjax]\varphi \langle{\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}}\rangle[/mathjax], to bylo špatně vzhledem k poloze kruhu. Tak jsem zkusil spočítat 1/2 ohraničené plochy s úhlem  [mathjax]\varphi \langle{\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}}\rangle[/mathjax], ale to také nefunguje, protože je zde stejný problém a nevím, jak jinak bych měl tuto plochu zapsat v polárních souřadnicích, abych mohl tento příklad vypočítat. Výsledkem by mělo být [mathjax]\frac{20\sqrt{2}}{9}[/mathjax]
Budu vděčný za jakoukoli pomoc.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) striga)

#2 03. 05. 2021 22:40

laszky
Příspěvky: 2090
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   184 
 

Re: Dvojný integrál s transformací do polárních souřadnic

↑ striga:

Ahoj, zkus obycejne (neposunute) polarni souradnice.

[mathjax]x=r\cos \varphi [/mathjax]
[mathjax]y=r\sin \varphi [/mathjax]

Offline

 

#3 04. 05. 2021 11:00

striga
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Dvojný integrál s transformací do polárních souřadnic

↑ laszky:
Děkuji za odpověď,
zkusil jsem ten příklad vypočítat s neposunutými polárními souřadnicemi, ale stále mi nevychází. Zároveň mě trochu zaráží, proč bych měl použít neposunuté polární souřadnice, protože když nad tím přemýšlím, tak by měli být posunuté, protože by ze středu souřadnicové soustavy byla část toho kruhu v definičním oboru trohu odlišná proti tomu, když by polární souřadnice byly definovány pro střed kruhu (posunuté polární souřadnice), není to tak?

Offline

 

#4 04. 05. 2021 14:43

laszky
Příspěvky: 2090
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   184 
 

Re: Dvojný integrál s transformací do polárních souřadnic

↑ striga:

Neposunute jsou lepsi, protoze pak neintegrujes odmocninu:

[mathjax]D: x^2+y^2\le 2y \; \Rightarrow \; r\leq2\sin\varphi[/mathjax]
[mathjax]y\geq|x| \; \Rightarrow \; \varphi\in [\pi/4,3\pi/4][/mathjax]

[mathjax]\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_0^{2\sin\varphi} r\cdot r\; \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi=\cdots[/mathjax]

Offline

 

#5 04. 05. 2021 16:26

striga
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Dvojný integrál s transformací do polárních souřadnic

↑ laszky:

Už chápu, mockrát děkuji za pomoc, příklad mi už vyšel správně.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson