Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 06. 2021 13:42

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 417
Reputace:   
Web
 

mocniny v komplexním oboru

V reálném oboru je např. x^(1/2)=x^(2/4)
V komplexním oboru to není tak úplně pravda, tam je n-tá odmocnina n- značná.
Víceznačná funkce  x^(1/2) má užší sortiment než funkce x^(2/4).
Např.  (-1)^(1/2) = i,  - i,
Např.  (-1)^(2/4)=1^(1/4)  =  1; -1; i; -i;

Tedy x^(1/2) není v komplexním oboru úplně totéž, co x^(2/4).

Offline

 

#2 15. 06. 2021 14:30

surovec
Příspěvky: 687
Škola: SPŠ
Pozice: student
Reputace:   18 
 

Re: mocniny v komplexním oboru

Offline

 

#3 15. 06. 2021 20:41

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3755
Reputace:   105 
 

Re: mocniny v komplexním oboru

A já bych zrovna řekl, že [mathjax]x^{(\frac{1}{2})}[/mathjax] je přesně to samé jako [mathjax]x^{(\frac{2}{4})}[/mathjax], protože ta závorka by měla určovat prioritu...

Offline

 

#4 15. 06. 2021 22:18

Bati
Příspěvky: 2307
Reputace:   182 
 

Re: mocniny v komplexním oboru

↑ Richard Tuček:
$(-1)^{\frac12}=(-1)^{\frac24}$, ale $(-1)^{\frac24}\neq1^{\frac14}$. Delas stejnou chybu jako ve znamem "dukazu", ze -1=1.

Offline

 

#5 16. 06. 2021 12:00

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 417
Reputace:   
Web
 

Re: mocniny v komplexním oboru

↑ Bati:

Ten "důkaz" samozřejmě znám.
1=odm(1)=odm((-1)*(-1))=i*i=-1

První rovnost je v reálném oboru správná, ale v komplexním je pofiderní (tam je druhá odmocnina dvojznačná).

Mezi zlomky platí rovnost (1/2)=(2/4), ale v komplexním oboru  x^(1/2) není úplně přesně totéž, co x^(2/4).

V reálném oboru je sudá odmocnina jednoznačná, pokud přijmeme konvenci, že za sudou odmocninu z kladného čísla se bere kladné číslo.
Proto také v reálném oboru platí: odm(x^2)=abs(x) (také jsem si to kdysi neuvědomil).

Offline

 

#6 16. 06. 2021 15:10

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: mocniny v komplexním oboru

Poznamka.
Toto sa oplati kuknut: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_fallacy .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 16. 06. 2021 23:42

Bati
Příspěvky: 2307
Reputace:   182 
 

Re: mocniny v komplexním oboru

↑ Richard Tuček:
Nemas pravdu, resp. vidis problemy tam, kde nejsou. Protoze 1/2=2/4, tak plati $f(1/2)=f(2/4)$ pro libovolnou funkci $f$, klidne i mnohoznacnou, to je irrelevantni. Z definice racionalnich cisel jsou 1/2 a 2/4 ty same objekty. Tolik k $(-1)^{\frac12}=(-1)^{\frac24}$.

Co se tyce $(-1)^{\frac24}\neq1^{\frac14}$, nebo ekvivalentne $(-1)^{\frac12}\neq1^{\frac14}$, nejprve je jasne, ze na leve strane je nutne pouzit obecnejsi definici mocniny:
$a^x=\{|a|^x(\cos(\arg a+2k\pi)x+i\sin(\arg a+2k\pi)x),\quad k\in\mathbb{N}\}$, kde $a\in\mathbb{C}$, $x\in\mathbb{R}$ a $\arg$ vraci argument komplexniho cisla lezici v $[0,2\pi)$. Tudiz $(-1)^{\frac12}$ je dvouprvkova mnozina. Ale na prave strane $1^{\frac14}$ je bud $1$ (pokud pouzijeme realnou odmocninu), anebo ctyrprkova mnozina, pouzijeme-li definici komplexni. Takze $(-1)^{\frac12}$ se nemuze rovnat $1^{\frac14}$ uz jen proto, ze to jsou neporovnatelne objekty. V reci programovani to odpovida tomu, ze nesedi typy (a neexistuje zadne rozumne implicitni pretypovani).

Jinak debaty tohoto typu podle me nejsou moc uzitecne, protoze v kazdem serioznim textu by melo byt dopredu deklarovano (anebo to musi byt jasne z kontextu), co se mysli zapisem $1^{\frac14}$ apod.


Ahoj ↑ vanok:, na te wiki v te casti "Square roots of negative numbers" to maji taky spatne (uz jen $\sqrt{-1}=i$), takze to necist.

Offline

 

#8 17. 06. 2021 06:04

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: mocniny v komplexním oboru

Ahoj ↑ Bati:
Len mala poznamka..
Uz len titul toho  odkazu znamena,  ze ide « pseudo » dokazy a iste autory chceli  tam dat ilustraciu   spatnych dokaov.   
Mozno mohli na to viac prizvukovat…


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 17. 06. 2021 15:40

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 417
Reputace:   
Web
 

Re: mocniny v komplexním oboru

Pozor:

Také rovnosti: i^2=-1;  i=odm(-1); nejsou úplně ekvivalentní, neboť druhá odmocnina je dvojznačná.

Jistý docent (machr v analýze v komplexním oboru) napsal knihu Analýza v komplexním oboru, je to tlustá kniha (autor I. Černý)
Pravil: "nesmíme mísit metody reálné a komplexní analýzy"

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson